حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} 2 x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{1}^{2} x e^{- x^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . إذن $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 1^{2}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = e^{- 1 \cdot 1}$

خطوة 2.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = e^{- 1}$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 2^{2}}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = e^{- 1 \cdot 4}$

خطوة 2.5.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$u_{upper} = e^{- 4}$

خطوة 2.5.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{1}{e}$

$u_{upper} = \frac{1}{e^{4}}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (- \frac{1}{2} u_{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $u_{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u_{2}}{2}]_{\frac{1}{e}}^{\frac{1}{e^{4}}})$

خطوة 5.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

احسِب قيمة $- \frac{u_{2}}{2}$ في $\frac{1}{e^{4}}$ وفي $\frac{1}{e}$ .

$2 ((- \frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

خطوة 5.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{e^{4}}}{2}$ في صورة حاصل ضرب.

$2 (- (\frac{1}{e^{4}} \cdot \frac{1}{2}) + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

خطوة 5.2.2.2

اضرب $\frac{1}{e^{4}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{e^{4} \cdot 2} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

خطوة 5.2.2.3

انقُل $2$ إلى يسار $e^{4}$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot e^{4}} + \frac{\frac{1}{e}}{2})$

خطوة 5.2.2.4

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{e}}{2}$ في صورة حاصل ضرب.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.2.5

اضرب $\frac{1}{e}$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{e \cdot 2})$

خطوة 5.2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $e$ .

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}} + \frac{1}{2 e})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 (- \frac{1}{2 e^{4}}) + 2 \frac{1}{2 e}$

خطوة 6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2 e^{4}}$ إلى بسط الكسر.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{4}$ .

$2 \frac{- 1}{2 (e^{4})} + 2 \frac{1}{2 e}$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{- 1}{2 e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

خطوة 6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 e$ .

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 (e)}$

خطوة 6.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{e^{4}} + 2 \frac{1}{2 e}$

خطوة 6.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

خطوة 6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{e^{4}} + \frac{1}{e}$

الصيغة العشرية:

$0.34956380 \dots$

خطوة 8