حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{1}{{(3 - 5 x)}^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 - 5 x$ . إذن $d u = - 5 d x$ ، لذا $- \frac{1}{5} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 - 5 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - 5 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $- 5$ في $1$ .

$0 - 5$

خطوة 1.1.4

اطرح $5$ من $0$ .

$- 5$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 - 5 x$ .

$u_{lower} = 3 - 5 \cdot 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $- 5$ في $1$ .

$u_{lower} = 3 - 5$

خطوة 1.3.2

اطرح $5$ من $3$ .

$u_{lower} = - 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 - 5 x$ .

$u_{upper} = 3 - 5 \cdot 2$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $- 5$ في $2$ .

$u_{upper} = 3 - 10$

خطوة 1.5.2

اطرح $10$ من $3$ .

$u_{upper} = - 7$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 7$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 5} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{5}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{5}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{u^{2} \cdot 5} d u$

خطوة 2.3

انقُل $5$ إلى يسار $u^{2}$ .

$\int_{- 2}^{- 7} - \frac{1}{5 u^{2}} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{5 u^{2}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} \frac{1}{u^{2}} d u)$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \int_{- 2}^{- 7} u^{- 2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$- \frac{1}{5} - u^{- 1}]_{- 2}^{- 7}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $- 7$ وفي $- 2$ .

$- \frac{1}{5} ((- {(- 7)}^{- 1}) + {(- 2)}^{- 1})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (- \frac{1}{- 7} + {(- 2)}^{- 1})$

خطوة 7.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{5} (- - \frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{5} (1 (\frac{1}{7}) + {(- 2)}^{- 1})$

خطوة 7.2.4

اضرب $\frac{1}{7}$ في $1$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + {(- 2)}^{- 1})$

خطوة 7.2.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} + \frac{1}{- 2})$

خطوة 7.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.7

لكتابة $\frac{1}{7}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.8

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{7} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

خطوة 7.2.9

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $14$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.9.1

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{7 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

خطوة 7.2.9.2

اضرب $7$ في $2$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{7})$

خطوة 7.2.9.3

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{2 \cdot 7})$

خطوة 7.2.9.4

اضرب $2$ في $7$ .

$- \frac{1}{5} (\frac{2}{14} - \frac{7}{14})$

خطوة 7.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{2 - 7}{14}$

خطوة 7.2.11

اطرح $7$ من $2$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{- 5}{14}$

خطوة 7.2.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{5} (- \frac{5}{14})$

خطوة 7.2.13

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{5}) \frac{5}{14}$

خطوة 7.2.14

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{14}$

خطوة 7.2.15

اضرب $\frac{1}{5}$ في $\frac{5}{14}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 14}$

خطوة 7.2.16

اضرب $5$ في $14$ .

$\frac{5}{70}$

خطوة 7.2.17

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $70$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.17.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 (1)}{70}$

خطوة 7.2.17.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.17.2.1

أخرِج العامل $5$ من $70$ .

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

خطوة 7.2.17.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 14}$

خطوة 7.2.17.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{14}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{14}$

الصيغة العشرية:

$0.0\overline{714285}$

خطوة 9