حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} x \sin (π x^{2}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = π x^{2}$ . إذن $d u = 2 \cdot x π d x$ ، لذا $\frac{1}{2 π} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = π x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $π x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [π x^{2}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$π \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$π (2 x)$

خطوة 1.1.4

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$2 π x$

خطوة 1.1.5

أعِد ترتيب $2 π$ و $x$ .

$x (2 π)$

خطوة 1.1.6

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$2 \cdot x π$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = π x^{2}$ .

$u_{lower} = π \cdot 1^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = π \cdot 1$

خطوة 1.3.2

اضرب $π$ في $1$ .

$u_{lower} = π$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = π x^{2}$ .

$u_{upper} = π \cdot 3^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = π \cdot 9$

خطوة 1.5.2

انقُل $9$ إلى يسار $π$ .

$u_{upper} = 9 π$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = 9 π$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{π}^{9 π} \sin (u) \frac{1}{2 π} d u$

خطوة 2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2 π}$ .

$\int_{π}^{9 π} \frac{\sin (u)}{2 π} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2 π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2 π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2 π} \int_{π}^{9 π} \sin (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2 π} - \cos (u)]_{π}^{9 π}$

خطوة 5

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $9 π$ وفي $π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (9 π) + \cos (π))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{2 π} (- \cos (π) + \cos (π))$

خطوة 6.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{1}{2 π} (- - \cos (0) + \cos (π))$

خطوة 6.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- (- 1 \cdot 1) + \cos (π))$

خطوة 6.1.4

اضرب $- (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2 π} (- - 1 + \cos (π))$

خطوة 6.1.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 + \cos (π))$

خطوة 6.1.5

$\frac{1}{2 π} (1 - \cos (0))$

خطوة 6.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1 \cdot 1)$

خطوة 6.1.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2 π} (1 - 1)$

خطوة 6.2

اطرح $1$ من $1$ .

$\frac{1}{2 π} \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $\frac{1}{2 π}$ في $0$ .

$0$