حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{4} 6 x \ln (x) d x$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{2}^{4} x \ln (x) d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = x$ .

$6 (\ln (x) (\frac{1}{2} x^{2})]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$6 (\ln (x) \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{2} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x)$

خطوة 3.4

اضرب $\frac{x^{2}}{2}$ في $\frac{1}{x}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x^{2}}{2 x} d x)$

خطوة 3.5

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{2 x} d x)$

خطوة 3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

خطوة 3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x \cdot x}{x \cdot 2} d x)$

خطوة 3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \int_{2}^{4} \frac{x}{2} d x)$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x d x))$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4})$

خطوة 6

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{1}{2} \frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4})$

خطوة 6.1.2

اجمع $\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\ln (x) x^{2}}{2}]_{2}^{4} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

خطوة 6.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

احسِب قيمة $\frac{\ln (x) x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}}{2})$

خطوة 6.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $2$ .

$6 ((\frac{\ln (4) \cdot 4^{2}}{2}) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$6 (\frac{\ln (4) \cdot 16}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.2

انقُل $16$ إلى يسار $\ln (4)$ .

$6 (\frac{16 \cdot \ln (4)}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $16 \ln (4)$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 (1)} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (\frac{2 (8 \ln (4))}{2 \cdot 1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{8 \ln (4)}{1} - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.3.2.4

اقسِم $8 \ln (4)$ على $1$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 2^{2}}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{\ln (2) \cdot 4}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.5

انقُل $4$ إلى يسار $\ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{4 \cdot \ln (2)}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4 \ln (2)$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 (1)} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 (2 \ln (2))}{2 \cdot 1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (8 \ln (4) - \frac{2 \ln (2)}{1} - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.6.2.4

اقسِم $2 \ln (2)$ على $1$ .

$6 (8 \ln (4) - (2 \ln (2)) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{(\frac{4^{2}}{2}) - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.8

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.9

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.9.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.9.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2^{2}}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{4}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.11

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.11.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2}}{2})$

خطوة 6.2.3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}{2})$

خطوة 6.2.3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}{2})$

خطوة 6.2.3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - \frac{2}{1}}{2})$

خطوة 6.2.3.11.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 1 \cdot 2}{2})$

خطوة 6.2.3.12

اضرب $- 1$ في $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{8 - 2}{2})$

خطوة 6.2.3.13

اطرح $2$ من $8$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{6}{2})$

خطوة 6.2.3.14

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.14.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2})$

خطوة 6.2.3.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.14.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 (1)})$

خطوة 6.2.3.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1})$

خطوة 6.2.3.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - \frac{3}{1})$

خطوة 6.2.3.14.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 1 \cdot 3)$

خطوة 6.2.3.15

اضرب $- 1$ في $3$ .

$6 (8 \ln (4) - 2 \ln (2) - 3)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$6 (8 \ln (4)) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$6 (8 \ln (2^{2})) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

خطوة 7.2.2

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$6 (8 (2 \ln (2))) + 6 (- 2 \ln (2)) + 6 \cdot - 3$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 2$ في $6$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) + 6 \cdot - 3$

خطوة 7.2.4

اضرب $6$ في $- 3$ .

$6 (8 (2 \ln (2))) - 12 \ln (2) - 18$

خطوة 7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $2$ في $8$ .

$6 (16 \ln (2)) - 12 \ln (2) - 18$

خطوة 7.3.2

اضرب $16$ في $6$ .

$96 \ln (2) - 12 \ln (2) - 18$

خطوة 7.4

اطرح $12 \ln (2)$ من $96 \ln (2)$ .

$84 \ln (2) - 18$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$84 \ln (2) - 18$

الصيغة العشرية:

$40.22436316 \dots$