حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} \ln^{2} (x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln^{2} (x)$ و $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{\ln (x^{2})}{x} d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $x$ و $\frac{\ln (x^{2})}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

خطوة 2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x \ln (x^{2})}{x} d x$

خطوة 2.2.2

اقسِم $\ln (x^{2})$ على $1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \ln (x^{2}) d x$

خطوة 3

أعِد كتابة $\ln (x^{2})$ بالصيغة $2 \ln (x)$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 2 \ln (x) d x$

خطوة 4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - (2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x)$

خطوة 5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 \int_{1}^{e} \ln (x) d x$

خطوة 6

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (x)$ و $d v = 1$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \frac{1}{x} d x)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{x}{x} d x)$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} d x)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\ln^{2} (x) x]_{1}^{e} - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $\ln^{2} (x) x$ في $e$ وفي $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 (\ln (x) x]_{1}^{e} - (x]_{1}^{e}))$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\ln (x) x$ في $e$ وفي $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - (x]_{1}^{e}))$

خطوة 9.3

احسِب قيمة $x$ في $e$ وفي $1$ .

$(\ln^{2} (e) e) - \ln^{2} (1) \cdot 1 - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

خطوة 9.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 ((\ln (e) e) - \ln (1) \cdot 1 - ((e) - 1))$

خطوة 9.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\ln^{2} (e) e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$1^{2} e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.3

اضرب $e$ في $1$ .

$e - \ln^{2} (1) - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e - 0^{2} - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.5

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e - 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.6

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e + 0 - 2 (\ln (e) e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.7.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$e + 0 - 2 (1 e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.7.2

اضرب $e$ في $1$ .

$e + 0 - 2 (e - \ln (1) - (e - 1))$

خطوة 10.1.7.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$e + 0 - 2 (e - 0 - (e - 1))$

خطوة 10.1.7.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - (e - 1))$

خطوة 10.1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$e + 0 - 2 (e + 0 - e - - 1)$

خطوة 10.1.7.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e + 0 - 2 (e + 0 - e + 1)$

خطوة 10.1.8

أضف $e$ و $0$ .

$e + 0 - 2 (e - e + 1)$

خطوة 10.1.9

اطرح $e$ من $e$ .

$e + 0 - 2 (0 + 1)$

خطوة 10.1.10

أضف $0$ و $1$ .

$e + 0 - 2 \cdot 1$

خطوة 10.1.11

اضرب $- 2$ في $1$ .

$e + 0 - 2$

خطوة 10.2

أضف $e$ و $0$ .

$e - 2$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$e - 2$

الصيغة العشرية:

$0.71828182 \dots$