حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{12}^{13} x \sqrt{x^{2} - 144} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 144$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 144$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 144$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 144]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 144$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 144]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 144$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 144$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 144$ .

$u_{lower} = 12^{2} - 144$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 144 - 144$

خطوة 1.3.2

اطرح $144$ من $144$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 144$ .

$u_{upper} = 13^{2} - 144$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $13$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 169 - 144$

خطوة 1.5.2

اطرح $144$ من $169$ .

$u_{upper} = 25$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 25$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{25} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{25} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{25}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $25$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $2$ في $125$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 6.2.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

خطوة 6.2.11

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

خطوة 6.2.12

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{250}{3} + 0)$

خطوة 6.2.13

أضف $\frac{250}{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{250}{3}$

خطوة 6.2.14

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{250}{3}$ .

$\frac{250}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.2.15

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{250}{6}$

خطوة 6.2.16

احذِف العامل المشترك لـ $250$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.1

أخرِج العامل $2$ من $250$ .

$\frac{2 (125)}{6}$

خطوة 6.2.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.2.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 125}{2 \cdot 3}$

خطوة 6.2.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{125}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{125}{3}$

الصيغة العشرية:

$41.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$41 \frac{2}{3}$

خطوة 8