حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

خطوة 1

ضع في اعتبارك تعريف الحد للمشتق.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

خطوة 2

أوجِد مكونات التعريف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة الدالة في $x = x + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $x + h$ في العبارة.

$f (x + h) = \frac{x + h}{(x + h) + 1}$

خطوة 2.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

احذِف الأقواس.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

خطوة 2.1.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{x + h}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h}{x + h + 1}$

خطوة 2.2

أوجِد مكونات التعريف.

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

خطوة 3

عوّض بالمكونات.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} - (\frac{x}{x + 1})}{h}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لكتابة $\frac{x + h}{x + h + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1}}{h}$

خطوة 4.1.2

لكتابة $- \frac{x}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

خطوة 4.1.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + h + 1) (x + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

اضرب $\frac{x + h}{x + h + 1}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

خطوة 4.1.3.2

اضرب $\frac{x}{x + 1}$ في $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5

أعِد كتابة $\frac{(x + h) (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1

وسّع $(x + h) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x (x + 1) + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h (x + 1) - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.2.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h \cdot 1 - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.2.3

اضرب $h$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x \cdot x - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.4.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.4.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.4.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + x + h x + h - x^{2} - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.5

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h + 0 - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.6

أضف $x$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h x + h - x h - x}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.7

اطرح $x$ من $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.8

أضف $h x + h - x h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.9

اطرح $x h$ من $h x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.5.9.1

أعِد ترتيب $h$ و $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + x h - x h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.9.2

اطرح $x h$ من $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.1.5.10

أضف $h$ و $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

خطوة 4.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{1}{(x + 1) (x + h + 1)}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل الحد $\frac{1}{x + 1}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $h$ .

$\frac{1}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

خطوة 5.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

خطوة 5.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 5.5

احسِب قيمة حد $x$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

خطوة 5.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $h$ من $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

خطوة 6

احسِب قيمة حد $h$ بالتعويض عن $h$ بـ $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $x$ و $0$ .

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

خطوة 7.2

اضرب $\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $\frac{1}{x + 1}$ في $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{1}{(x + 1) (x + 1)}$

خطوة 7.2.2

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

خطوة 7.2.3

ارفع $x + 1$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

خطوة 7.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

خطوة 7.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 8