حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x {(x - 2)}^{3}$

خطوة 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x {(x - 2)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 2)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 2)}^{3})$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{3}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 2))) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.4.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2} \cdot 1) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.4.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 1.1.1.4.6

اضرب ${(x - 2)}^{3}$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{3})$

خطوة 1.1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

خطوة 1.1.1.5.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 2)}^{2})) + 3 {(x - 2)}^{3}$

خطوة 1.1.1.5.3

أخرِج العامل $3 {(x - 2)}^{2}$ من $9 x {(x - 2)}^{2} + 3 {(x - 2)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.3.1

أخرِج العامل $3 {(x - 2)}^{2}$ من $9 x {(x - 2)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{3}$

خطوة 1.1.1.5.3.2

أخرِج العامل $3 {(x - 2)}^{2}$ من $3 {(x - 2)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.3.3

أخرِج العامل $3 {(x - 2)}^{2}$ من $3 {(x - 2)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (3 x + x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.4

أضف $3 x$ و $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 2)}^{2} (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.5

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 2) (x - 2)) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.6

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.7.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.7.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.7.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 4 x + 4) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.9.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.9.2

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$

خطوة 1.1.1.5.10

وسّع $(3 x^{2} - 12 x + 12) (4 x - 2)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.11.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.11.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.11.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 2 - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.4

اضرب $- 2$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x \cdot x) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.5.11.6.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 (x \cdot x)) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 12 \cdot (4 x^{2}) - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.7

اضرب $- 12$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} - 12 x \cdot - 2 + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.8

اضرب $- 2$ في $- 12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 12 (4 x) + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.9

اضرب $4$ في $12$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x + 12 \cdot - 2$

خطوة 1.1.1.5.11.10

اضرب $12$ في $- 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 6 x^{2} - 48 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

خطوة 1.1.1.5.12

اطرح $48 x^{2}$ من $- 6 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 24 x + 48 x - 24$

خطوة 1.1.1.5.13

أضف $24 x$ و $48 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 54 x^{2} + 72 x - 24$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 54 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 54 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 54 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

بما أن $- 54$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 54 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 54 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 54 (2 x) + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 54$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + \frac{d}{d x} (72 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

بما أن $72$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $72 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.4.3

اضرب $72$ في $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + \frac{d}{d x} (- 24)$

خطوة 1.1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 24$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72 + 0$

خطوة 1.1.2.5.2

أضف $36 x^{2} - 108 x + 72$ و $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 108 x + 72$

خطوة 1.1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72$

خطوة 1.2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} - 108 x + 72 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

أخرِج العامل $36$ من $36 x^{2} - 108 x + 72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1.1

أخرِج العامل $36$ من $36 x^{2}$ .

$36 (x^{2}) - 108 x + 72 = 0$

خطوة 1.2.2.1.2

أخرِج العامل $36$ من $- 108 x$ .

$36 (x^{2}) + 36 (- 3 x) + 72 = 0$

خطوة 1.2.2.1.3

أخرِج العامل $36$ من $72$ .

$36 x^{2} + 36 (- 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.4

أخرِج العامل $36$ من $36 x^{2} + 36 (- 3 x)$ .

$36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2 = 0$

خطوة 1.2.2.1.5

أخرِج العامل $36$ من $36 (x^{2} - 3 x) + 36 \cdot 2$ .

$36 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

خطوة 1.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 3 x + 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $2$ ومجموعهما $- 3$ .

$- 2, - 1$

خطوة 1.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$36 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

خطوة 1.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$36 (x - 2) (x - 1) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $36 (x - 2) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 2, 1$

خطوة 2

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \in ℝ}$

خطوة 3

أنشئ فترات حول القيم $x$ التي يكون عندها المشتق الثاني مساويًا لصفر أو غير معرّف.

$(- \infty, 1) \cup (1, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 4

عوّض بأي عدد من الفترة $(- \infty, 1)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 108 \cdot 0 + 72$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 108 \cdot 0 + 72$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $36$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 - 108 \cdot 0 + 72$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 108$ في $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 72$

خطوة 4.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f'' (0) = 0 + 72$

خطوة 4.2.2.2

أضف $0$ و $72$ .

$f'' (0) = 72$

خطوة 4.2.3

الإجابة النهائية هي $72$ .

$72$

خطوة 4.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(- \infty, 1)$ لأن $f'' (0)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 5

عوّض بأي عدد من الفترة $(1, 2)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.5$ في العبارة.

$f'' (1.5) = 36 {(1.5)}^{2} - 108 \cdot 1.5 + 72$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $1.5$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.5) = 36 \cdot 2.25 - 108 \cdot 1.5 + 72$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $2.25$ .

$f'' (1.5) = 81 - 108 \cdot 1.5 + 72$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 108$ في $1.5$ .

$f'' (1.5) = 81 - 162 + 72$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $162$ من $81$ .

$f'' (1.5) = - 81 + 72$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 81$ و $72$ .

$f'' (1.5) = - 9$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 9$ .

$- 9$

خطوة 5.3

الرسم البياني مقعر لأسفل في الفترة $(1, 2)$ لأن $f'' (1.5)$ سالبة.

مقعر لأسفل خلال $(1, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

خطوة 6

عوّض بأي عدد من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني واحسِب القيمة لتحديد التقعر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 108 \cdot 4 + 72$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 108 \cdot 4 + 72$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $16$ .

$f'' (4) = 576 - 108 \cdot 4 + 72$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 108$ في $4$ .

$f'' (4) = 576 - 432 + 72$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $432$ من $576$ .

$f'' (4) = 144 + 72$

خطوة 6.2.2.2

أضف $144$ و $72$ .

$f'' (4) = 216$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $216$ .

$216$

خطوة 6.3

الرسم البياني مقعر لأعلى في الفترة $(2, \infty)$ لأن $f'' (4)$ موجبة.

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 7

يكون الرسم البياني مقعرًا لأسفل إذا كان المشتق الثاني سالبًا ومقعرًا لأعلى إذا كان المشتق الثاني موجبًا.

مقعر لأعلى خلال $(- \infty, 1)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

مقعر لأسفل خلال $(1, 2)$ بما أن $f'' (x)$ سالبة

مقعر لأعلى خلال $(2, \infty)$ بما أن $f'' (x)$ موجبة

خطوة 8