حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2} + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 4) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (4 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.1.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x^{3} + 8 x - 2 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.3.2.1

اطرح $2 x^{3}$ من $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{8 x + 0}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.1.6.3.2.2

أضف $8 x$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

خطوة 1.2.2

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}})$

خطوة 1.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}})$

خطوة 1.2.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.3.3

اضرب ${(x^{2} + 4)}^{2}$ في $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.5.2

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من ${(x^{2} + 4)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.5.2.2

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من $- 2 x ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.5.2.3

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]))$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}})$

خطوة 1.2.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

أخرِج العامل $x^{2} + 4$ من ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (x) = 8 (\frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4)))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.10.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.14

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{x^{2} + 4 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.15

اطرح $4 x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

خطوة 1.2.16

اجمع $8$ و $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.2.1

اضرب $- 3$ في $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.2.2

اضرب $8$ في $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 24 x^{2} + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.3

أخرِج العامل $8$ من $- 24 x^{2} + 32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.17.3.1

أخرِج العامل $8$ من $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 32}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.3.2

أخرِج العامل $8$ من $32$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.3.3

أخرِج العامل $8$ من $8 (- 3 x^{2}) + 8 (4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.5

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.7

أعِد كتابة $- (3 x^{2} - 4)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.2.17.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = - \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- \frac{8 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$8 (3 x^{2} - 4) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

اقسِم كل حد في $8 (3 x^{2} - 4) = 0$ على $8$ .

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

خطوة 2.3.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 (3 x^{2} - 4)}{8} = \frac{0}{8}$

خطوة 2.3.1.2.1.2

اقسِم $3 x^{2} - 4$ على $1$ .

$3 x^{2} - 4 = \frac{0}{8}$

خطوة 2.3.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.3.1

اقسِم $0$ على $8$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

خطوة 2.3.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x^{2} = 4$

خطوة 2.3.3

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 4$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم كل حد في $3 x^{2} = 4$ على $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 2.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

خطوة 2.3.3.2.1.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

خطوة 2.3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

خطوة 2.3.5

بسّط $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد كتابة $\sqrt{\frac{4}{3}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.2.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.3

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.4.1

اضرب $\frac{2}{\sqrt{3}}$ في $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.4.2

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

خطوة 2.3.5.4.3

ارفع $\sqrt{3}$ إلى القوة $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

خطوة 2.3.5.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

خطوة 2.3.5.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

خطوة 2.3.5.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 2.3.5.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 2.3.5.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.5.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 2.3.5.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

خطوة 2.3.5.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3.6

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3.6.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 2.3.6.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2.3

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.2.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $4$ في $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{12}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.5

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 (4)}{9}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.1.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.2.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.2.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.2.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.2.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.2.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.2.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.2.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.4

اضرب $4$ في $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

خطوة 3.1.2.2.6

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.7

اجمع $4$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.9.1

اضرب $4$ في $3$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

خطوة 3.1.2.2.9.2

أضف $4$ و $12$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

خطوة 3.1.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

خطوة 3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

خطوة 3.1.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.1.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.1.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

خطوة 3.1.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ هي $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ في العبارة.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.3

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{3^{2}})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4 \cdot 3}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $4$ في $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{12}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.7

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.7.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 (4)}{9})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1 (\frac{4}{3})}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.1.8

اضرب $\frac{4}{3}$ في $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- \frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{2 \sqrt{3}}{3})}^{2} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{{(2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

خطوة 3.3.2.2.1.3

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{{(- 1)}^{2} (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

خطوة 3.3.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{1 (\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}) + 4}$

خطوة 3.3.2.2.3

اضرب $\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.4.2

أعِد كتابة ${\sqrt{3}}^{2}$ بالصيغة $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.4.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3}$ في صورة $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.4.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.4.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.4.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.4.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.4.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.4.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{3^{2}} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.5

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 \cdot 3}{9} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.6

اضرب $4$ في $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{12}{9} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.7.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 (4)}{9} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.7.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4}$

خطوة 3.3.2.2.8

لكتابة $4$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.9

اجمع $4$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 4 \cdot 3}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.11.1

اضرب $4$ في $3$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4 + 12}{3}}$

خطوة 3.3.2.2.11.2

أضف $4$ و $12$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{16}{3}}$

خطوة 3.3.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{16}$

خطوة 3.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 (4)}$

خطوة 3.3.2.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4 \cdot 4}$

خطوة 3.3.2.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}$

خطوة 3.3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4}$

خطوة 3.3.2.6

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ في $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}$ هي $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.25470053$ في العبارة.

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 {(- 1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1.25470053$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $3$ في $1.57427344$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 5.2.1.3

اطرح $4$ من $4.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({(- 1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 5.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ارفع $- 1.25470053$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $1.57427344$ و $4$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

خطوة 5.2.2.3

ارفع $5.57427344$ إلى القوة $3$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

خطوة 5.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب $8$ في $0.72282032$ .

$f'' (- 1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

خطوة 5.2.3.2

اقسِم $5.78256258$ على $173.20674748$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0.03338531$ .

$f'' (- 1.25470053) = - 0.03338531$

خطوة 5.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 1.25470053$ يساوي $- 0.03338531$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f'' (0) = - \frac{8 (3 {(0)}^{2} - 4)}{{({(0)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{8 (3 \cdot 0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $3$ في $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (0 - 4)}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 6.2.1.3

اطرح $4$ من $0$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{{(0 + 4)}^{3}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $0$ و $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{4^{3}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot - 4}{64}$

خطوة 6.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $8$ في $- 4$ .

$f'' (0) = - \frac{- 32}{64}$

خطوة 6.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $32$ من $- 32$ .

$f'' (0) = - \frac{32 (- 1)}{64}$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $32$ من $64$ .

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

خطوة 6.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (0) = - \frac{32 \cdot - 1}{32 \cdot 2}$

خطوة 6.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (0) = - \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (0) = \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6.3

في $0$ ، المشتق الثاني هو $0.5$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

تزايد خلال $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.25470053$ في العبارة.

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 {(1.25470053)}^{2} - 4)}{{({(1.25470053)}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $1.25470053$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (3 \cdot 1.57427344 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $3$ في $1.57427344$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 (4.72282032 - 4)}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 7.2.1.3

اطرح $4$ من $4.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{({1.25470053}^{2} + 4)}^{3}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

ارفع $1.25470053$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{(1.57427344 + 4)}^{3}}$

خطوة 7.2.2.2

أضف $1.57427344$ و $4$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{{5.57427344}^{3}}$

خطوة 7.2.2.3

ارفع $5.57427344$ إلى القوة $3$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{8 \cdot 0.72282032}{173.20674748}$

خطوة 7.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

اضرب $8$ في $0.72282032$ .

$f'' (1.25470053) = - \frac{5.78256258}{173.20674748}$

خطوة 7.2.3.2

اقسِم $5.78256258$ على $173.20674748$ .

$f'' (1.25470053) = - 1 \cdot 0.03338531$

خطوة 7.2.3.3

اضرب $- 1$ في $0.03338531$ .

$f'' (1.25470053) = - 0.03338531$

خطوة 7.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.03338531$ .

$- 0.03338531$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $1.25470053$ يساوي $- 0.03338531$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

تناقص خلال $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$ .

$(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4}), (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{1}{4})$

خطوة 9