حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 8 + e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [8 + e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.5

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.5.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.6.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.2.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{8 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.6.2.1.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.6.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $8 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.6.2.2.1

اطرح $e^{2 x}$ من $e^{2 x}$ .

$\frac{8 e^{x} + 0}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.1.6.2.2.2

أضف $8 e^{x}$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8 e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(8 + e^{x})}^{2}}]$

خطوة 2.2.2

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2.3

اضرب الأُسس في ${({(8 + e^{x})}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(8 + e^{x})}^{2}]}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 8 + e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 + e^{x}$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [8 + e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.6.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.6.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.6.4

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.7

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((8 + e^{x}) e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.9

أضف $x$ و $x$ .

$8 \frac{{(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.10

أخرِج العامل $8 + e^{x}$ من ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.10.1

أخرِج العامل $8 + e^{x}$ من ${(8 + e^{x})}^{2} e^{x}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (8 + e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.10.2

أخرِج العامل $8 + e^{x}$ من $- 2 e^{2 x} (8 + e^{x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.10.3

أخرِج العامل $8 + e^{x}$ من $(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x}) + (8 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{4}}$

خطوة 2.2.11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.11.1

أخرِج العامل $8 + e^{x}$ من ${(8 + e^{x})}^{4}$ .

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.11.2

ألغِ العامل المشترك.

$8 \frac{(8 + e^{x}) ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(8 + e^{x}) {(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.11.3

أعِد كتابة العبارة.

$8 \frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.12

اجمع $8$ و $\frac{(8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 ((8 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 (8 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.1

اضرب $8$ في $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 (e^{x} e^{x}) + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.3.1.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{x + x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.2.2

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} + 8 (- 2 e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.1.3

اضرب $- 2$ في $8$ .

$\frac{64 e^{x} + 8 e^{2 x} - 16 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.3.2

اطرح $16 e^{2 x}$ من $8 e^{2 x}$ .

$\frac{64 e^{x} - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.4.1

أخرِج العامل $8$ من $64 e^{x} - 8 e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.4.1.1

أخرِج العامل $8$ من $64 e^{x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) - 8 e^{2 x}}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.1.2

أخرِج العامل $8$ من $- 8 e^{2 x}$ .

$\frac{8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.1.3

أخرِج العامل $8$ من $8 (8 e^{x}) + 8 (- e^{2 x})$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - e^{2 x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.2

أعِد كتابة $e^{2 x}$ بالصيغة ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{8 (8 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.3

لنفترض أن $u = e^{x}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $e^{x}$ .

$\frac{8 (8 u - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.4

أخرِج العامل $u$ من $8 u - u^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.13.4.4.1

أخرِج العامل $u$ من $8 u$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 - u^{2})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.4.2

أخرِج العامل $u$ من $- u^{2}$ .

$\frac{8 (u \cdot 8 + u (- u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.4.3

أخرِج العامل $u$ من $u \cdot 8 + u (- u)$ .

$\frac{8 (u (8 - u))}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.2.13.4.5

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{8 e^{x} (8 - e^{x})}{{(8 + e^{x})}^{3}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

خطوة 3.3.2

عيّن قيمة العبارة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

عيّن قيمة $e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{x} = 0$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

خطوة 3.3.2.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 3.3.2.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $8 - e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $8 - e^{x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $8 - e^{x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

اطرح $8$ من كلا المتعادلين.

$- e^{x} = - 8$

خطوة 3.3.3.2.2

اقسِم كل حد في $- e^{x} = - 8$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- e^{x} = - 8$ على $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.2.2

اقسِم $e^{x}$ على $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

خطوة 3.3.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.3.1

اقسِم $- 8$ على $- 1$ .

$e^{x} = 8$

خطوة 3.3.3.2.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

خطوة 3.3.3.2.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.4.1

وسّع $\ln (e^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$x \ln (e) = \ln (8)$

خطوة 3.3.3.2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

خطوة 3.3.3.2.4.3

اضرب $x$ في $1$ .

$x = \ln (8)$

خطوة 3.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $8 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ صحيحة.

$x = \ln (8)$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $\ln (8)$ في $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\ln (8)$ في العبارة.

$f (\ln (8)) = \frac{e^{\ln (8)}}{8 + e^{\ln (8)}}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + e^{\ln (8)}}$

خطوة 4.1.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (8)) = \frac{8}{8 + 8}$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $8$ و $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8}{16}$

خطوة 4.1.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 (1)}{16}$

خطوة 4.1.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.3.2.1

أخرِج العامل $8$ من $16$ .

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

خطوة 4.1.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (8)) = \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 2}$

خطوة 4.1.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (8)) = \frac{1}{2}$

خطوة 4.1.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\ln (8)$ في $f (x) = \frac{e^{x}}{8 + e^{x}}$ هي $(\ln (8), \frac{1}{2})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \ln (8))$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.97944154$ في العبارة.

$f'' (1.97944154) = \frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

خطوة 6.2

الإجابة النهائية هي $\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{1.97944154} (8 - e^{1.97944154})}{{(8 + e^{1.97944154})}^{3}}$

خطوة 6.3

في $1.97944154$ ، المشتق الثاني هو $0.01245842$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, \ln (8))$ .

تزايد خلال $(- \infty, \ln (8))$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(\ln (8), \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.17944154$ في العبارة.

$f'' (2.17944154) = \frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

خطوة 7.2

الإجابة النهائية هي $\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$ .

$\frac{8 e^{2.17944154} (8 - e^{2.17944154})}{{(8 + e^{2.17944154})}^{3}}$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $2.17944154$ يساوي $- 0.01245842$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\ln (8), \infty)$

تناقص خلال $(\ln (8), \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(\ln (8), \frac{1}{2})$ .

$(\ln (8), \frac{1}{2})$

خطوة 9