حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 12 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} x$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x^{2} + 6 x - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $2$ في $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $6$ في $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

خطوة 1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $12 x + 6$ و $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 6$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $12 x + 6$ .

$12 x + 6$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $12 x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$12 x + 6 = 0$

خطوة 2.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$12 x = - 6$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $12 x = - 6$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $12 x = - 6$ على $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 6}{12}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.1

أخرِج العامل $6$ من $- 6$ .

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

خطوة 2.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $6$ من $12$ .

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

خطوة 2.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 2.3.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $- \frac{1}{2}$ في $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{1}{2}$ في العبارة.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{8}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.5.2

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 (4)}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.9

اضرب $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.10

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.11

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.12

اجمع $3$ و $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (- \frac{1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.13

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.13.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.13.2

أخرِج العامل $2$ من $- 12$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

خطوة 3.1.2.1.13.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

خطوة 3.1.2.1.13.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 6 \cdot - 1$

خطوة 3.1.2.1.14

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6$

خطوة 3.1.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{- 1 + 3}{4}$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $- 1$ و $3$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2}{4}$

خطوة 3.1.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 (1)}{4}$

خطوة 3.1.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.1.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

خطوة 3.1.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2}$

خطوة 3.1.2.3

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.1.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2}$

خطوة 3.1.2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.6.1

اضرب $6$ في $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{12 + 1}{2}$

خطوة 3.1.2.6.2

أضف $12$ و $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{13}{2}$

خطوة 3.1.2.7

الإجابة النهائية هي $\frac{13}{2}$ .

$\frac{13}{2}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- \frac{1}{2}$ في $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ هي $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - \frac{1}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.6$ في العبارة.

$f'' (- 0.6) = 12 (- 0.6) + 6$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $12$ في $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = - 7.2 + 6$

خطوة 5.2.2

أضف $- 7.2$ و $6$ .

$f'' (- 0.6) = - 1.2$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1.2$ .

$- 1.2$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 0.6$ يساوي $- 1.2$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - \frac{1}{2})$

تناقص خلال $(- \infty, - \frac{1}{2})$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \frac{1}{2}, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.4$ في العبارة.

$f'' (- 0.4) = 12 (- 0.4) + 6$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اضرب $12$ في $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = - 4.8 + 6$

خطوة 6.2.2

أضف $- 4.8$ و $6$ .

$f'' (- 0.4) = 1.2$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $1.2$ .

$1.2$

خطوة 6.3

في $- 0.4$ ، المشتق الثاني هو $1.2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

تزايد خلال $(- \frac{1}{2}, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقطة الانقلاب في هذه الحالة هي $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

خطوة 8