حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$

خطوة 1

اكتب $y = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ في صورة دالة.

$f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.2.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $8$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} (13)$

خطوة 2.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.5.1

بما أن $13$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $13$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8 + 0$

خطوة 2.1.5.2

أضف $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ و $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{3} + 24 x^{2} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

خطوة 2.2.2.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $24 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $24$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 8)$

خطوة 2.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x + 0$

خطوة 2.2.4.2

أضف $- 12 x^{2} + 48 x$ و $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 48 x$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 12 x^{2} + 48 x$ .

$- 12 x^{2} + 48 x$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 12 x^{2} + 48 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 12 x^{2} + 48 x = 0$

خطوة 3.2

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 12 x^{2} + 48 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 48 x = 0$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $- 12 x$ من $48 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 4 = 0$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 12 x (x) - 12 x (- 4)$ .

$- 12 x (x - 4) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 3.5.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 12 x (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 4$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = - 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $8$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 13$

خطوة 4.1.2.1.5

اضرب $- 8$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 13$

خطوة 4.1.2.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 13$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0 + 13$

خطوة 4.1.2.2.3

أضف $0$ و $13$ .

$f (0) = 13$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $13$ .

$13$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ هي $(0, 13)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 13)$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $4$ في $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $4$ .

$f (4) = - 1 \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $256$ .

$f (4) = - 256 + 8 {(4)}^{3} - 8 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$f (4) = - 256 + 8 \cdot 64 - 8 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $8$ في $64$ .

$f (4) = - 256 + 512 - 8 \cdot 4 + 13$

خطوة 4.3.2.1.5

اضرب $- 8$ في $4$ .

$f (4) = - 256 + 512 - 32 + 13$

خطوة 4.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أضف $- 256$ و $512$ .

$f (4) = 256 - 32 + 13$

خطوة 4.3.2.2.2

اطرح $32$ من $256$ .

$f (4) = 224 + 13$

خطوة 4.3.2.2.3

أضف $224$ و $13$ .

$f (4) = 237$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $237$ .

$237$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $4$ في $f (x) = - x^{4} + 8 x^{3} - 8 x + 13$ هي $(4, 237)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(4, 237)$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 13), (4, 237)$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 48 (- 0.1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 48 (- 0.1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 12$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 48 (- 0.1)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $48$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 4.8$

خطوة 6.2.2

اطرح $4.8$ من $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 4.92$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.92$ .

$- 4.92$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 4.92$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 4)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f'' (2) = - 12 {(2)}^{2} + 48 (2)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2) = - 12 \cdot 4 + 48 (2)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 12$ في $4$ .

$f'' (2) = - 48 + 48 (2)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $48$ في $2$ .

$f'' (2) = - 48 + 96$

خطوة 7.2.2

أضف $- 48$ و $96$ .

$f'' (2) = 48$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $48$ .

$48$

خطوة 7.3

في $2$ ، المشتق الثاني هو $48$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, 4)$ .

تزايد خلال $(0, 4)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(4, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4.1$ في العبارة.

$f'' (4.1) = - 12 {(4.1)}^{2} + 48 (4.1)$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $4.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (4.1) = - 12 \cdot 16.81 + 48 (4.1)$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $- 12$ في $16.81$ .

$f'' (4.1) = - 201.72 + 48 (4.1)$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $48$ في $4.1$ .

$f'' (4.1) = - 201.72 + 196.8$

خطوة 8.2.2

أضف $- 201.72$ و $196.8$ .

$f'' (4.1) = - 4.92$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4.92$ .

$- 4.92$

خطوة 8.3

المشتق الثاني عند $4.1$ يساوي $- 4.92$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(4, \infty)$

تناقص خلال $(4, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 13), (4, 237)$ .

$(0, 13), (4, 237)$

خطوة 10