حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x {(x - 3)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x {(x - 3)}^{3}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x {(x - 3)}^{3})$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{3}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2} \cdot 1) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 1.1.4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 1.1.4.6

اضرب ${(x - 3)}^{3}$ في $1$ .

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2}) + {(x - 3)}^{3})$

خطوة 1.1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x (3 {(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

خطوة 1.1.5.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f' (x) = 9 (x ({(x - 3)}^{2})) + 3 {(x - 3)}^{3}$

خطوة 1.1.5.3

أخرِج العامل $3 {(x - 3)}^{2}$ من $9 x {(x - 3)}^{2} + 3 {(x - 3)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.3.1

أخرِج العامل $3 {(x - 3)}^{2}$ من $9 x {(x - 3)}^{2}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{3}$

خطوة 1.1.5.3.2

أخرِج العامل $3 {(x - 3)}^{2}$ من $3 {(x - 3)}^{3}$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$

خطوة 1.1.5.3.3

أخرِج العامل $3 {(x - 3)}^{2}$ من $3 {(x - 3)}^{2} (3 x) + 3 {(x - 3)}^{2} (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (3 x + x - 3)$

خطوة 1.1.5.4

أضف $3 x$ و $x$ .

$f' (x) = 3 {(x - 3)}^{2} (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.5

أعِد كتابة ${(x - 3)}^{2}$ بالصيغة $(x - 3) (x - 3)$ .

$f' (x) = 3 ((x - 3) (x - 3)) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.6

وسّع $(x - 3) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = 3 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.7.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.7.1.3

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.7.2

اطرح $3 x$ من $- 3 x$ .

$f' (x) = 3 (x^{2} - 6 x + 9) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.8

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = (3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.9.1

اضرب $- 6$ في $3$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 9) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.9.2

اضرب $3$ في $9$ .

$f' (x) = (3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$

خطوة 1.1.5.10

وسّع $(3 x^{2} - 18 x + 27) (4 x - 3)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f' (x) = 3 x^{2} (4 x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{2} x) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.2.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.2.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{1 + 2}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$f' (x) = 3 \cdot (4 x^{3}) + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 3 - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.4

اضرب $- 3$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 x (4 x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x \cdot x) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.11.6.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 (x \cdot x)) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 18 \cdot (4 x^{2}) - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.7

اضرب $- 18$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} - 18 x \cdot - 3 + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.8

اضرب $- 3$ في $- 18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 27 (4 x) + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.9

اضرب $4$ في $27$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x + 27 \cdot - 3$

خطوة 1.1.5.11.10

اضرب $27$ في $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 9 x^{2} - 72 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

خطوة 1.1.5.12

اطرح $72 x^{2}$ من $- 9 x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 54 x + 108 x - 81$

خطوة 1.1.5.13

أضف $54 x$ و $108 x$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 81 x^{2} + 162 x - 81$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [162 x] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x^{2}) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 81 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 81 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 81 (2 x) + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 81$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + \frac{d}{d x} (162 x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [162 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $162$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $162 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $162 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $162$ في $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + \frac{d}{d x} (- 81)$

خطوة 1.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

بما أن $- 81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 81$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162 + 0$

خطوة 1.2.5.2

أضف $36 x^{2} - 162 x + 162$ و $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 162 x + 162$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} - 162 x + 162 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $18$ من $36 x^{2} - 162 x + 162$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $18$ من $36 x^{2}$ .

$18 (2 x^{2}) - 162 x + 162 = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $18$ من $- 162 x$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 162 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $18$ من $162$ .

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x) + 18 (9) = 0$

خطوة 2.2.1.4

أخرِج العامل $18$ من $18 (2 x^{2}) + 18 (- 9 x)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9) = 0$

خطوة 2.2.1.5

أخرِج العامل $18$ من $18 (2 x^{2} - 9 x) + 18 (9)$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

خطوة 2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ ومجموعهما $b = - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

أخرِج العامل $- 9$ من $- 9 x$ .

$18 (2 x^{2} - 9 x + 9) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.2

أعِد كتابة $- 9$ في صورة $- 3$ زائد $- 6$

$18 (2 x^{2} + (- 3 - 6) x + 9) = 0$

خطوة 2.2.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$18 (2 x^{2} - 3 x - 6 x + 9) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$18 ((2 x^{2} - 3 x) - 6 x + 9) = 0$

خطوة 2.2.2.1.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$18 (x (2 x - 3) - 3 (2 x - 3)) = 0$

خطوة 2.2.2.1.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x - 3$ .

$18 ((2 x - 3) (x - 3)) = 0$

خطوة 2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 3 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 3$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $18 (2 x - 3) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{3}{2}, 3$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $\frac{3}{2}$ في $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3}{2}) = 3 (\frac{3}{2}) {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

اضرب $3 (\frac{3}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

اجمع $3$ و $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{3 \cdot 3}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $3$ في $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {((\frac{3}{2}) - 3)}^{3}$

خطوة 3.1.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{3}$

خطوة 3.1.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

خطوة 3.1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{3}$

خطوة 3.1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.5.1

اضرب $- 3$ في $2$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{3 - 6}{2})}^{3}$

خطوة 3.1.2.5.2

اطرح $6$ من $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(\frac{- 3}{2})}^{3}$

خطوة 3.1.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot {(- \frac{3}{2})}^{3}$

خطوة 3.1.2.7

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.7.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3})$

خطوة 3.1.2.7.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}}))$

خطوة 3.1.2.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{3^{3}}{2^{3}})$

خطوة 3.1.2.9

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{2^{3}})$

خطوة 3.1.2.10

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{2} \cdot (- \frac{27}{8})$

خطوة 3.1.2.11

اضرب $\frac{9}{2} (- \frac{27}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.11.1

اضرب $\frac{9}{2}$ في $\frac{27}{8}$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{9 \cdot 27}{2 \cdot 8}$

خطوة 3.1.2.11.2

اضرب $9$ في $27$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{2 \cdot 8}$

خطوة 3.1.2.11.3

اضرب $2$ في $8$ .

$f (\frac{3}{2}) = - \frac{243}{16}$

خطوة 3.1.2.12

الإجابة النهائية هي $- \frac{243}{16}$ .

$- \frac{243}{16}$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $\frac{3}{2}$ في $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ هي $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16})$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $3$ في $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = 3 (3) {((3) - 3)}^{3}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $3$ في $3$ .

$f (3) = 9 {((3) - 3)}^{3}$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $3$ من $3$ .

$f (3) = 9 \cdot 0^{3}$

خطوة 3.3.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (3) = 9 \cdot 0$

خطوة 3.3.2.4

اضرب $9$ في $0$ .

$f (3) = 0$

خطوة 3.3.2.5

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $3$ في $f (x) = 3 x {(x - 3)}^{3}$ هي $(3, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(3, 0)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, \frac{3}{2})$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.4$ في العبارة.

$f'' (1.4) = 36 {(1.4)}^{2} - 162 \cdot 1.4 + 162$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $1.4$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.4) = 36 \cdot 1.96 - 162 \cdot 1.4 + 162$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $1.96$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 162 \cdot 1.4 + 162$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 162$ في $1.4$ .

$f'' (1.4) = 70.56 - 226.8 + 162$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $226.8$ من $70.56$ .

$f'' (1.4) = - 156.24 + 162$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 156.24$ و $162$ .

$f'' (1.4) = 5.76$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $5.76$ .

$5.76$

خطوة 5.3

في $1.4$ ، المشتق الثاني هو $5.76$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, \frac{3}{2})$ .

تزايد خلال $(- \infty, \frac{3}{2})$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(\frac{3}{2}, 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.25$ في العبارة.

$f'' (2.25) = 36 {(2.25)}^{2} - 162 \cdot 2.25 + 162$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $2.25$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.25) = 36 \cdot 5.0625 - 162 \cdot 2.25 + 162$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $5.0625$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 162 \cdot 2.25 + 162$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 162$ في $2.25$ .

$f'' (2.25) = 182.25 - 364.5 + 162$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $364.5$ من $182.25$ .

$f'' (2.25) = - 182.25 + 162$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 182.25$ و $162$ .

$f'' (2.25) = - 20.25$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 20.25$ .

$- 20.25$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $2.25$ يساوي $- 20.25$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(\frac{3}{2}, 3)$

تناقص خلال $(\frac{3}{2}, 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.1$ في العبارة.

$f'' (3.1) = 36 {(3.1)}^{2} - 162 \cdot 3.1 + 162$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.1) = 36 \cdot 9.61 - 162 \cdot 3.1 + 162$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $36$ في $9.61$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 162 \cdot 3.1 + 162$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 162$ في $3.1$ .

$f'' (3.1) = 345.96 - 502.2 + 162$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $502.2$ من $345.96$ .

$f'' (3.1) = - 156.24 + 162$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 156.24$ و $162$ .

$f'' (3.1) = 5.76$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $5.76$ .

$5.76$

خطوة 7.3

في $3.1$ ، المشتق الثاني هو $5.76$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(3, \infty)$ .

تزايد خلال $(3, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$ .

$(\frac{3}{2}, - \frac{243}{16}), (3, 0)$

خطوة 9