حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{3} - x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - \frac{d}{d x} x^{4}$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - (4 x^{3})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 4 x^{3}$

خطوة 1.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 12 x^{2}$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 4 x^{3} + 12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2})$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 12 (2 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $12$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 24 x$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- 12 x^{2} + 24 x$ .

$- 12 x^{2} + 24 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 12 x^{2} + 24 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- 12 x^{2} + 24 x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 12 x^{2} + 24 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 12 x^{2}$ .

$- 12 x \cdot x + 24 x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $- 12 x$ من $24 x$ .

$- 12 x \cdot x - 12 x \cdot - 2 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $- 12 x$ من $- 12 x (x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (x - 2) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 12 x (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 2$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 4 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

خطوة 3.1.2.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 0$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.1.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ هي $(0, 0)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, 0)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $2$ في $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = 4 {(2)}^{3} - {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$f (2) = 4 \cdot 8 - {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $4$ في $8$ .

$f (2) = 32 - {(2)}^{4}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f (2) = 32 - 1 \cdot 16$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f (2) = 32 - 16$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $16$ من $32$ .

$f (2) = 16$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $16$ .

$16$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2$ في $f (x) = 4 x^{3} - x^{4}$ هي $(2, 16)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2, 16)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, 0), (2, 16)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 0.1$ في العبارة.

$f'' (- 0.1) = - 12 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 0.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 12 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 12$ في $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 + 24 (- 0.1)$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $24$ في $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.12 - 2.4$

خطوة 5.2.2

اطرح $2.4$ من $- 0.12$ .

$f'' (- 0.1) = - 2.52$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2.52$ .

$- 2.52$

خطوة 5.3

المشتق الثاني عند $- 0.1$ يساوي $- 2.52$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, 0)$

تناقص خلال $(- \infty, 0)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 2)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f'' (1) = - 12 {(1)}^{2} + 24 (1)$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f'' (1) = - 12 \cdot 1 + 24 (1)$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 12$ في $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24 (1)$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $24$ في $1$ .

$f'' (1) = - 12 + 24$

خطوة 6.2.2

أضف $- 12$ و $24$ .

$f'' (1) = 12$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $12$ .

$12$

خطوة 6.3

في $1$ ، المشتق الثاني هو $12$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, 2)$ .

تزايد خلال $(0, 2)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.1$ في العبارة.

$f'' (2.1) = - 12 {(2.1)}^{2} + 24 (2.1)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.1) = - 12 \cdot 4.41 + 24 (2.1)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 12$ في $4.41$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 24 (2.1)$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $24$ في $2.1$ .

$f'' (2.1) = - 52.92 + 50.4$

خطوة 7.2.2

أضف $- 52.92$ و $50.4$ .

$f'' (2.1) = - 2.52$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 2.52$ .

$- 2.52$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $2.1$ يساوي $- 2.52$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(2, \infty)$

تناقص خلال $(2, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (2, 16)$ .

$(0, 0), (2, 16)$

خطوة 9