حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.2.3

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.2.4

اجمع $\frac{3}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.2.5.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- \frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{1}{2} x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{1}{2} (2 x)$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{1}{2}) x$

خطوة 1.1.3.4

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2}{2} x$

خطوة 1.1.3.5

اجمع $\frac{- 2}{2}$ و $x$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{2}$

خطوة 1.1.3.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2}$

خطوة 1.1.3.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

خطوة 1.1.3.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.1.3.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x^{2} + \frac{- x}{1}$

خطوة 1.1.3.6.2.4

اقسِم $- x$ على $1$ .

$f' (x) = x^{2} - x$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $x^{2} - x$ .

$x^{2} - x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $x^{2} - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - x = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$x \cdot x - x = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 1$ .

$x (x - 1) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 1$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $0, 1$ .

$0, 1$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق يساوي $0$ أو التي تجعله غير معرّف.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} - (- 1)$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f' (- 1) = 1 - (- 1)$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

خطوة 5.2.2

أضف $1$ و $1$ .

$f' (- 1) = 2$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 5.3

المشتق في $x = - 1$ هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(- \infty, 0)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 1)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{1}{2}$ في العبارة.

$f' (\frac{1}{2}) = {(\frac{1}{2})}^{2} - (\frac{1}{2})$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

خطوة 6.2.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^{2}} - (\frac{1}{2})$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

خطوة 6.2.2

لكتابة $- \frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 6.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

خطوة 6.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{1 - 2}{4}$

خطوة 6.2.5

اطرح $2$ من $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

خطوة 6.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

خطوة 6.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4}$

خطوة 6.3

المشتق في $x = \frac{1}{2}$ هو $- \frac{1}{4}$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(0, 1)$ .

تناقص خلال $(0, 1)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(1, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f' (2) = {(2)}^{2} - (2)$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f' (2) = 4 - (2)$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (2) = 4 - 2$

خطوة 7.2.2

اطرح $2$ من $4$ .

$f' (2) = 2$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 7.3

المشتق في $x = 2$ هو $2$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(1, \infty)$ .

تزايد خلال $(1, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 8

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(- \infty, 0), (1, \infty)$

تناقص خلال: $(0, 1)$

خطوة 9