حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{4} - 32 x + 4$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} - 32 x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $- 32$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 32 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $- 32$ في $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + \frac{d}{d x} (4)$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32 + 0$

خطوة 1.1.3.2

أضف $4 x^{3} - 32$ و $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 32$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $4 x^{3} - 32$ .

$4 x^{3} - 32$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $4 x^{3} - 32 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 x^{3} - 32 = 0$

خطوة 2.2

أضف $32$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x^{3} = 32$

خطوة 2.3

اطرح $32$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} - 32 = 0$

خطوة 2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{3} - 32$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 32 = 0$

خطوة 2.4.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 32$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 8 = 0$

خطوة 2.4.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{3} + 4 \cdot - 8$ .

$4 (x^{3} - 8) = 0$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$4 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

خطوة 2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

خطوة 2.4.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.4.1.1

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

خطوة 2.4.4.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$4 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

خطوة 2.4.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

خطوة 2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 2.7

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 2 x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

عيّن قيمة $x^{2} + 2 x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

خطوة 2.7.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.7.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.7.2.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 2.7.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.7.2.4.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 2.7.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

خطوة 2.7.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.7.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.7.2.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

خطوة 2.7.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 2.7.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $4 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ صحيحة.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

خطوة 3

القيم التي تجعل المشتق مساويًا لـ $0$ هي $2$ .

$2$

خطوة 4

بعد إيجاد النقطة التي تجعل المشتق $f' (x) = 4 x^{3} - 32$ مساويًا لـ $0$ أو غير معرف، تكون الفترة اللازمة للتحقق من أين تتزايد وأين تتناقص $f (x) = x^{4} - 32 x + 4$ هو $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 2)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3} - 32$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f' (1) = 4 \cdot 1 - 32$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$f' (1) = 4 - 32$

خطوة 5.2.2

اطرح $32$ من $4$ .

$f' (1) = - 28$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $- 28$ .

$- 28$

خطوة 5.3

المشتق في $x = 1$ هو $- 28$ . نظرًا إلى أن هذا سالب، فإن الدالة تتناقص خلال $(- \infty, 2)$ .

تناقص خلال $(- \infty, 2)$ حيث إن $f' (x) < 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(2, \infty)$ في المشتق لتحديد ما إذا كانت الدالة تتزايد أم تتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f' (3) = 4 {(3)}^{3} - 32$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f' (3) = 4 \cdot 27 - 32$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $4$ في $27$ .

$f' (3) = 108 - 32$

خطوة 6.2.2

اطرح $32$ من $108$ .

$f' (3) = 76$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $76$ .

$76$

خطوة 6.3

المشتق في $x = 3$ هو $76$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن الدالة تتزايد خلال $(2, \infty)$ .

تزايد خلال $(2, \infty)$ نظرًا إلى أن $f' (x) > 0$

خطوة 7

اسرِد الفترات التي تتزايد الدالة وتتناقص فيها.

تزايد خلال: $(2, \infty)$

تناقص خلال: $(- \infty, 2)$

خطوة 8