حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

خطوة 1

عيّن $y$ كدالة لـ $x$ .

$f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $\sqrt{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\sqrt{3} x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.2.3

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sqrt{3} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 2.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\sqrt{3} + 2 (- \sin (x))$

خطوة 2.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\sqrt{3} - 2 \sin (x)$

خطوة 2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$- 2 \sin (x) + \sqrt{3}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- 2 \sin (x) + \sqrt{3} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اطرح $\sqrt{3}$ من كلا المتعادلين.

$- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $- 2 \sin (x) = - \sqrt{3}$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

خطوة 3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

خطوة 3.3

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 3.5

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{3}$

خطوة 3.6

بسّط $π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 3.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

اجمع $π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 3.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 3.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

خطوة 3.6.3.2

اطرح $π$ من $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 3.7

أوجِد فترة $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.7.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 3.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 3.7.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 3.8

فترة دالة $\sin (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ عند $x = \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{π}{3}) + 2 \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 4.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

خطوة 4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{1}{2})$

خطوة 4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

خطوة 4.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$ .

$\frac{\sqrt{3} π}{3} + 1$

خطوة 5

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ عند $x = \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{2 π}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = \sqrt{3} (\frac{2 π}{3}) + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اجمع $\sqrt{3}$ و $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{\sqrt{3} (2 π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

خطوة 5.2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \cdot (\sqrt{3} π)}{3} + 2 \cos (\frac{2 π}{3})$

خطوة 5.2.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \cos (\frac{π}{3}))$

خطوة 5.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (- \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.5.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 5.2.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} + 2 (\frac{- 1}{2})$

خطوة 5.2.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

خطوة 5.2.2

الإجابة النهائية هي $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

خطوة 6

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = \sqrt{3} x + 2 \cos (x)$ هي $y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{3} + 1, y = \frac{2 \sqrt{3} π}{3} - 1$

خطوة 7