حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

خطوة 1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x)$

خطوة 1.2.3

اضرب $2$ في $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $x$ من $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

خطوة 2.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

خطوة 2.3

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $3 x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $3 x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 8 = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 8$

خطوة 2.4.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 8$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 8$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

خطوة 2.4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

خطوة 2.4.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

خطوة 2.5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (3 x - 8) = 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{8}{3}$

خطوة 3

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ عند $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

خطوة 3.2.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- 4$ في $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

خطوة 3.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$f (0) = 0$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 4

أوجِد حل الدالة الأصلية $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ عند $x = \frac{8}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{8}{3}$ في العبارة.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

خطوة 4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

خطوة 4.2.1.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2}$

خطوة 4.2.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}}$

خطوة 4.2.1.5

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}}$

خطوة 4.2.1.6

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9})$

خطوة 4.2.1.7

اضرب $- 4 (\frac{64}{9})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.7.1

اجمع $- 4$ و $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9}$

خطوة 4.2.1.7.2

اضرب $- 4$ في $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9}$

خطوة 4.2.1.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9}$

خطوة 4.2.2

لكتابة $- \frac{256}{9}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 4.2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $27$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اضرب $\frac{256}{9}$ في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $9$ في $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27}$

خطوة 4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3}{27}$

خطوة 4.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

اضرب $- 256$ في $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768}{27}$

خطوة 4.2.5.2

اطرح $768$ من $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256}{27}$

خطوة 4.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{256}{27}$

خطوة 4.2.7

الإجابة النهائية هي $- \frac{256}{27}$ .

$- \frac{256}{27}$

خطوة 5

خطوط المماس الأفقية في الدالة $f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ هي $y = 0, y = - \frac{256}{27}$ .

$y = 0, y = - \frac{256}{27}$

خطوة 6