حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$

خطوة 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 4$ و $c = 4 x^{2} - 8 x + 4$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 4$ و $b = 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3.5

اطرح $4$ من $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3.6

أضف $4 x$ و $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.3.7.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.3.7.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.4.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.5

أضف $4$ و $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.6

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.6.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.7

اضرب $4$ في $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.8

أعِد كتابة $16 x (- x + 2)$ بالصيغة ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.8.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

خطوة 1.3.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

خطوة 1.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3.5

اطرح $4$ من $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3.6

أضف $4 x$ و $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.3.7.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.3.7.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.4.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.5

أضف $4$ و $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.6

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.6.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.7

اضرب $4$ في $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.8

أعِد كتابة $16 x (- x + 2)$ بالصيغة ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1.8.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

خطوة 1.4.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

خطوة 1.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

خطوة 1.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد كتابة $4 \cdot 1 \cdot (4 x^{2} - 8 x + 4)$ بالصيغة ${(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.2

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 \cdot (2 x - 2)) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x + 2 \cdot - 2) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 + 4 x - 4) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3.5

اطرح $4$ من $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{(4 x + 0) (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3.6

أضف $4 x$ و $0$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot 1 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3.7

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.3.7.1

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - (2 \cdot (2 x - 2)))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.3.7.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x - 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x - 2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.4.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 - 4 x + 4)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.5

أضف $4$ و $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (- 4 x + 8)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.6

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 8)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x) + 4 (2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.6.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (2)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 x \cdot (4 (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.7

اضرب $4$ في $4$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.8

أعِد كتابة $16 x (- x + 2)$ بالصيغة ${(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.8.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.8.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.8.3

أضف الأقواس.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (x (- x + 2))}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.9

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$y = \frac{- 4 \pm 2^{2} \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.1.10

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$y = \frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$

خطوة 1.5.3

بسّط $\frac{- 4 \pm 4 \sqrt{x (- x + 2)}}{2}$ .

$y = - 2 \pm 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

خطوة 1.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

خطوة 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

$y = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)} \to f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$

خطوة 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4) = \frac{d}{d x} (0)$

خطوة 3.2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.2.3

اضرب $2$ في $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$8 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$8 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.4.3

اضرب $- 8$ في $1$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + \frac{d}{d x} [4]$

خطوة 3.2.6

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y' + 0$

خطوة 3.2.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.7.1

أضف $8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$ و $0$ .

$8 x + 2 y y' - 8 + 4 y'$

خطوة 3.2.7.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8$

خطوة 3.3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 3.4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 y y' + 8 x + 4 y' - 8 = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اطرح $8 x$ من كلا المتعادلين.

$2 y y' + 4 y' - 8 = - 8 x$

خطوة 3.5.1.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y y' + 4 y' = - 8 x + 8$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y' + 4 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 8 x + 8$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $2 y'$ من $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 8 x + 8$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $2 y'$ من $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ على $2 (y + 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $2 y' (y + 2) = - 8 x + 8$ على $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.2.2.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 8 x$ .

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (y + 2)} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.3.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{- 4 x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{(4) x}{y + 2} + \frac{8}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{2 \cdot 4}{2 (y + 2)}$

خطوة 3.5.3.3.1.3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{4 x}{y + 2} + \frac{4}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{- 4 x + 4}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.2.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$y' = \frac{4 (- x) + 4 (1)}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.2.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (- x) + 4 (1)$ .

$y' = \frac{4 (- x + 1)}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y' = \frac{4 (- (x) + 1)}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.4

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x) - 1 (- 1))}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{4 (- (x - 1))}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.2.6.1

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (x - 1))}{y + 2}$

خطوة 3.5.3.3.2.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

خطوة 3.6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 (x - 1)}{y + 2}$

خطوة 4

عيّن قيمة المشتق بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $- \frac{4 (x - 1)}{y + 2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 (x - 1) = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 1) = 0$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اقسِم كل حد في $4 (x - 1) = 0$ على $4$ .

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 (x - 1)}{4} = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.1.2.1.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{4}$

خطوة 4.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

اقسِم $0$ على $4$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 4.2.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5

Solve the function $f (x) = - 2 + 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اضرب $- (1) + 2$ في $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- (1) + 2}$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{- 1 + 2}$

خطوة 5.2.1.3

أضف $- 1$ و $2$ .

$f (1) = - 2 + 2 \sqrt{1}$

خطوة 5.2.1.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (1) = - 2 + 2 \cdot 1$

خطوة 5.2.1.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f (1) = - 2 + 2$

خطوة 5.2.2

أضف $- 2$ و $2$ .

$f (1) = 0$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6

Solve the function $f (x) = - 2 - 2 \sqrt{x (- x + 2)}$ at $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{(1) (- (1) + 2)}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

اضرب $- (1) + 2$ في $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- (1) + 2}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{- 1 + 2}$

خطوة 6.2.1.3

أضف $- 1$ و $2$ .

$f (1) = - 2 - 2 \sqrt{1}$

خطوة 6.2.1.4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (1) = - 2 - 2 \cdot 1$

خطوة 6.2.1.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (1) = - 2 - 2$

خطوة 6.2.2

اطرح $2$ من $- 2$ .

$f (1) = - 4$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 4$ .

$- 4$

خطوة 7

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = - 4$

$y = 0, y = - 4$

خطوة 8