حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{5}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $5$ في $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 10 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$15 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 10$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [15 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $15 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $15$ في $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$15 x^{4} - 30 x^{2} + 15 = 0$

خطوة 2.2

عوّض بـ $u = x^{2}$ في المعادلة. سيسهّل ذلك استخدام الصيغة التربيعية.

$15 u^{2} - 30 u + 15 = 0$

$u = x^{2}$

خطوة 2.3

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أخرِج العامل $15$ من $15 u^{2} - 30 u + 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

أخرِج العامل $15$ من $15 u^{2}$ .

$15 (u^{2}) - 30 u + 15 = 0$

خطوة 2.3.1.2

أخرِج العامل $15$ من $- 30 u$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 = 0$

خطوة 2.3.1.3

أخرِج العامل $15$ من $15$ .

$15 (u^{2}) + 15 (- 2 u) + 15 (1) = 0$

خطوة 2.3.1.4

أخرِج العامل $15$ من $15 (u^{2}) + 15 (- 2 u)$ .

$15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1) = 0$

خطوة 2.3.1.5

أخرِج العامل $15$ من $15 (u^{2} - 2 u) + 15 (1)$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

خطوة 2.3.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$15 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.3.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

خطوة 2.3.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$15 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 2.3.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = u$ و $b = 1$ .

$15 {(u - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.4

اقسِم كل حد في $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ على $15$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

اقسِم كل حد في $15 {(u - 1)}^{2} = 0$ على $15$ .

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

خطوة 2.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{15 {(u - 1)}^{2}}{15} = \frac{0}{15}$

خطوة 2.4.2.1.2

اقسِم ${(u - 1)}^{2}$ على $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{15}$

خطوة 2.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.3.1

اقسِم $0$ على $15$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة $u - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$u - 1 = 0$

خطوة 2.6

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$u = 1$

خطوة 2.7

عوّض بالقيمة الحقيقية لـ $u = x^{2}$ مرة أخرى في المعادلة المحلولة.

$x^{2} = 1$

خطوة 2.8

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{1}$

خطوة 2.8.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$x = \pm 1$

خطوة 2.8.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.3.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 1$

خطوة 2.8.3.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 1$

خطوة 2.8.3.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 1, - 1$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 4

احسِب قيمة $3 x^{5} - 10 x^{3} + 15 x$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $1$ .

$3 {(1)}^{5} - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 \cdot 1 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

خطوة 4.1.2.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 - 10 {(1)}^{3} + 15 (1)$

خطوة 4.1.2.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 - 10 \cdot 1 + 15 (1)$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 10$ في $1$ .

$3 - 10 + 15 (1)$

خطوة 4.1.2.1.5

اضرب $15$ في $1$ .

$3 - 10 + 15$

خطوة 4.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اطرح $10$ من $3$ .

$- 7 + 15$

خطوة 4.1.2.2.2

أضف $- 7$ و $15$ .

$8$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $5$ .

$3 \cdot - 1 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

خطوة 4.2.2.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 - 10 {(- 1)}^{3} + 15 (- 1)$

خطوة 4.2.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1 + 15 (- 1)$

خطوة 4.2.2.1.4

اضرب $- 10$ في $- 1$ .

$- 3 + 10 + 15 (- 1)$

خطوة 4.2.2.1.5

اضرب $15$ في $- 1$ .

$- 3 + 10 - 15$

خطوة 4.2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

أضف $- 3$ و $10$ .

$7 - 15$

خطوة 4.2.2.2.2

اطرح $15$ من $7$ .

$- 8$

خطوة 4.3

اسرِد جميع النقاط.

$(1, 8), (- 1, - 8)$

خطوة 5