حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x e^{- x}$

خطوة 1

اكتب $y = x e^{- x}$ في صورة دالة.

$f (x) = x e^{- x}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 2.3.5

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x e^{- x} + e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x e^{- x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.2

$f'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = - (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.8

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.9

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.2.10

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 3.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 3.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- x$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

خطوة 3.3.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

خطوة 3.3.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{- x} \cdot - 1$

خطوة 3.3.5

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - 1 \cdot e^{- x}$

خطوة 3.3.6

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x (- e^{- x}) + e^{- x}) - e^{- x}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f'' (x) = - (x (- e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x (e^{- x})) - e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 3.4.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - e^{- x} - e^{- x}$

خطوة 3.4.2.3

اطرح $e^{- x}$ من $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

خطوة 3.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$f'' (x) = e^{- x} x - 2 e^{- x}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب العوامل في $e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x e^{- x} - 2 e^{- x}$

خطوة 4

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

خطوة 5

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 5.1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

خطوة 5.1.3.5

اضرب $e^{- x}$ في $1$ .

$f' (x) = x (- e^{- x}) + e^{- x}$

خطوة 5.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f' (x) = - e^{- x} x + e^{- x}$

خطوة 5.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$f' (x) = - x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 5.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

خطوة 6

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x e^{- x} + e^{- x} = 0$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

خطوة 6.2.2

اضرب في $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $e^{- x}$ من $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

خطوة 6.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

خطوة 6.4

عيّن قيمة العبارة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

عيّن قيمة $e^{- x}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$e^{- x} = 0$

خطوة 6.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $e^{- x} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

خطوة 6.4.2.2

لا يمكن حل المعادلة لأن $\ln (0)$ غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 6.4.2.3

لا يوجد حل لـ $e^{- x} = 0$

لا يوجد حل

خطوة 6.5

عيّن قيمة العبارة $- x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

عيّن قيمة $- x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$- x + 1 = 0$

خطوة 6.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $- x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 1$

خطوة 6.5.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.5.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.5.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 6.5.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.2.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$x = 1$

خطوة 6.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $e^{- x} (- x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1$

خطوة 7

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

نطاق العبارة هو جميع الأعداد الحقيقية ما عدا ما يجعل العبارة غير معرّفة. في هذه الحالة، لا يوجد عدد حقيقي يجعل العبارة غير معرّفة.

خطوة 8

النقاط الحرجة اللازم حساب قيمتها.

$x = 1$

خطوة 9

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = 1$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$(1) e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

خطوة 10

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

اضرب $e^{- (1)}$ في $1$ .

$e^{- (1)} - 2 e^{- (1)}$

خطوة 10.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e^{- 1} - 2 e^{- (1)}$

خطوة 10.1.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- (1)}$

خطوة 10.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{e} - 2 e^{- 1}$

خطوة 10.1.5

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e} - 2 \frac{1}{e}$

خطوة 10.1.6

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

خطوة 10.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

خطوة 10.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1 - 2}{e}$

خطوة 10.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{- 1}{e}$

خطوة 10.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{e}$

خطوة 11

$x = 1$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = 1$ هي حد أقصى محلي

خطوة 12

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

خطوة 12.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اضرب $e^{- (1)}$ في $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

خطوة 12.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

خطوة 12.2.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

خطوة 12.2.4

الإجابة النهائية هي $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

خطوة 13

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = x e^{- x}$ .

$(1, \frac{1}{e})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 14