حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x + \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$1 - \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.1.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

خطوة 2.3

اطرح $\cos (x)$ من $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$1 - \sin (x) = 0$

خطوة 4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$- \sin (x) = - 1$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- \sin (x) = - 1$ على $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.2.2

اقسِم $\sin (x)$ على $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم $- 1$ على $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

خطوة 6

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$x = \arcsin (1)$

خطوة 7

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (1)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 8

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$x = π - \frac{π}{2}$

خطوة 9

بسّط $π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اجمع $π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

خطوة 9.3.2

اطرح $π$ من $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

خطوة 10

حل المعادلة $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{π}{2}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$- 0$

خطوة 12.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$0$

خطوة 13

نظرًا إلى وجود نقطة واحدة على الأقل بها $0$ أو مشتق ثانٍ غير معرّف، طبّق اختبار المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات منفصلة حول قيم $x$ التي تجعل المشتق الأول مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

$(- \infty, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \infty)$

خطوة 13.2

عوّض بأي عدد، مثل $0$ ، من الفترة $(- \infty, \frac{π}{2})$ في المشتق الأول $1 - \sin (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f' (0) = 1 - \sin (0)$

خطوة 13.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.2.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$f' (0) = 1 - 0$

خطوة 13.2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$f' (0) = 1 + 0$

خطوة 13.2.2.2

أضف $1$ و $0$ .

$f' (0) = 1$

خطوة 13.2.2.3

الإجابة النهائية هي $1$ .

$1$

خطوة 13.3

عوّض بأي عدد، مثل $4$ ، من الفترة $(\frac{π}{2}, \infty)$ في المشتق الأول $1 - \sin (x)$ للتحقق مما إذا كانت النتيجة سالبة أم موجبة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f' (4) = 1 - \sin (4)$

خطوة 13.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.3.2.1.1

احسِب قيمة $\sin (4)$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

خطوة 13.3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1 + 0.75680249$

خطوة 13.3.2.2

أضف $1$ و $0.75680249$ .

$f' (4) = 1.75680249$

خطوة 13.3.2.3

الإجابة النهائية هي $1.75680249$ .

$1.75680249$

خطوة 13.4

بما أن علامة المشتق الأول لم تتغيّر حول $x = \frac{π}{2}$ ، إذن هذه النقطة لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا.

لا تمثل حدًا أقصى محليًا أو حدًا أدنى محليًا

خطوة 13.5

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية لـ $f (x) = x + \cos (x)$ .

لا توجد نقاط قصوى أو دنيا محلية

خطوة 14