حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\sqrt{3 x})$

خطوة 1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 x}$ في صورة ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $3^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 10

اضرب $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل $2$ إلى يسار $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 12.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

خطوة 12.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

خطوة 12.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 12.1.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2 x^{1}}$

خطوة 12.2

بسّط $2 x^{1}$ .

$\frac{1}{2 x}$