حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 7 x^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

خطوة 1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

خطوة 1.6.2

اطرح $2$ من $3$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1.7

اجمع $\frac{3}{2}$ و $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 1.8

اجمع $7$ و $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{7 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 1.9

اضرب $3$ في $7$ .

$f' (x) = \frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{21}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{21 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{21}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 2.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 2.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 2.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 2.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 2.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 2.9

اضرب $\frac{21}{2}$ في $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 2.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = \frac{21 x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

خطوة 2.10.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{21}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتق الثالث.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $\frac{21}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{21}{4 x^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{21}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 3.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

خطوة 3.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

خطوة 3.2.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 3.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

خطوة 3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

خطوة 3.7.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

خطوة 3.9

اجمع $x^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{21}{4} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

خطوة 3.10

اضرب $\frac{21}{4}$ في $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = - \frac{21 x^{- \frac{3}{2}}}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.11

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اضرب $4$ في $2$ .

$f''' (x) = - \frac{21 x^{- \frac{3}{2}}}{8}$

خطوة 3.11.2

انقُل $x^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{21}{8 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4

أوجِد المشتق الرابع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- \frac{21}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \frac{21}{8 x^{\frac{3}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{21}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 4.2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ بالصيغة ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$

خطوة 4.2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}$

خطوة 4.2.2.2

اضرب $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

اجمع $\frac{3}{2}$ و $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}$

خطوة 4.2.2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 3}{2}}$

خطوة 4.2.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{3}{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

خطوة 4.7.2

اطرح $2$ من $- 3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

خطوة 4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

خطوة 4.9

اجمع $x^{- \frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{21}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

خطوة 4.10

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.10.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{21}{8}) \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 4.10.2

اضرب $\frac{21}{8}$ في $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{21}{8} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

خطوة 4.11

اضرب $\frac{21}{8}$ في $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{21 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{8 \cdot 2}$

خطوة 4.12

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

اضرب $3$ في $21$ .

$f^{4} (x) = \frac{63 x^{- \frac{5}{2}}}{8 \cdot 2}$

خطوة 4.12.2

اضرب $8$ في $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{63 x^{- \frac{5}{2}}}{16}$

خطوة 4.12.3

انقُل $x^{- \frac{5}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$

خطوة 5

المشتق الرابع لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$ .

$\frac{63}{16 x^{\frac{5}{2}}}$