حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int (x + 1) (2 x - 1) d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) d x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) d x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\int x (2 x) + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب $x$ و $2$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب $x$ و $- 1$ .

$\int 2 \cdot x \cdot x - 1 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 (x^{1} x) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 (x^{1} x^{1}) - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 x^{1 + 1} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.9

أضف $1$ و $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.10

اضرب $2$ في $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x + 1 \cdot - 1 d x$

خطوة 3.11

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\int 2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1 d x$

خطوة 3.12

أضف $- 1 x$ و $2 x$ .

$\int 2 x^{2} + x - 1 d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x^{2} d x + \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int - 1 d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

بسّط.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + C$

خطوة 10.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = (x + 1) (2 x - 1)$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - x + C$