حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (2 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \sin (2 x) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sin (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 4

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sin (u)}{2} d u$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int \sin (u) d u$

خطوة 6

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} (- \cos (u) + C)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

$\frac{1}{2} (- \cos (u)) + C$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\cos (u)$ .

$- \frac{\cos (u)}{2} + C$

خطوة 8

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$- \frac{\cos (2 x)}{2} + C$

خطوة 9

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \sin (2 x)$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2} \cos (2 x) + C$