حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 6 {(2 x + 1)}^{5} (2) d x$

خطوة 3

اضرب $2$ في $6$ .

$\int 12 {(2 x + 1)}^{5} d x$

خطوة 4

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int {(2 x + 1)}^{5} d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x + 1$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

خطوة 5.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 5.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 + 0$

خطوة 5.1.4.2

أضف $2$ و $0$ .

$2$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$12 \int u^{5} \frac{1}{2} d u$

خطوة 6

اجمع $u^{5}$ و $\frac{1}{2}$ .

$12 \int \frac{u^{5}}{2} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$12 (\frac{1}{2} \int u^{5} d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $12$ .

$\frac{12}{2} \int u^{5} d u$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2} \int u^{5} d u$

خطوة 8.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} \int u^{5} d u$

خطوة 8.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} \int u^{5} d u$

خطوة 8.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{1} \int u^{5} d u$

خطوة 8.2.2.4

اقسِم $6$ على $1$ .

$6 \int u^{5} d u$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $6 (\frac{1}{6} u^{6} + C)$ بالصيغة $6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$ .

$6 (\frac{1}{6}) u^{6} + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $6$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

خطوة 10.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6}{6} u^{6} + C$

خطوة 10.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 u^{6} + C$

خطوة 10.2.3

اضرب $u^{6}$ في $1$ .

$u^{6} + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

${(2 x + 1)}^{6} + C$

خطوة 12

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 6 {(2 x + 1)}^{5} (2)$ .

$F (x) =$ ${(2 x + 1)}^{6} + C$