حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{n \to 8} {(1 + \frac{1}{n})}^{n}$

خطوة 1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n}{n} + \frac{1}{n})}^{n}$

خطوة 1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{n \to 8} {(\frac{n + 1}{n})}^{n}$

خطوة 2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة ${(\frac{n + 1}{n})}^{n}$ بالصيغة $e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})}$

خطوة 2.2

وسّع $\ln ({(\frac{n + 1}{n})}^{n})$ بنقل $n$ خارج اللوغاريتم.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

خطوة 3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل النهاية إلى الأُس.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n + 1}{n})}$

خطوة 3.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n + 1}{n})}$

خطوة 3.3

انقُل النهاية داخل اللوغاريتم.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n + 1}{n})}$

خطوة 3.4

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة قسمة النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

خطوة 3.5

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $n$ من $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n})}$

خطوة 3.6

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $n$ من $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

خطوة 4

احسِب قيم الحدود بالتعويض عن جميع حالات حدوث $n$ بـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

خطوة 4.2

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{n \to 8} n})}$

خطوة 4.3

احسِب قيمة حد $n$ بالتعويض عن $n$ بـ $8$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})}$

خطوة 5

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8})$ بنقل $8$ داخل اللوغاريتم.

$e^{\ln ({(\frac{8 + 1}{8})}^{8})}$

خطوة 5.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

${(\frac{8 + 1}{8})}^{8}$

خطوة 5.3

أضف $8$ و $1$ .

${(\frac{9}{8})}^{8}$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{9}{8}$ .

$\frac{9^{8}}{8^{8}}$

خطوة 5.5

ارفع $9$ إلى القوة $8$ .

$\frac{43046721}{8^{8}}$

خطوة 5.6

ارفع $8$ إلى القوة $8$ .

$\frac{43046721}{16777216}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{43046721}{16777216}$

الصيغة العشرية:

$2.56578451 \dots$