حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = - 1$ , $x = 2$ , $y = 3 e^{3 x}$ , $y = 2 e^{3 x} + 1$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 e^{3 x} = 2 e^{3 x} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اطرح $2 e^{3 x}$ من كلا المتعادلين.

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} = 1$

خطوة 1.2.1.2

اطرح $2 e^{3 x}$ من $3 e^{3 x}$ .

$e^{3 x} = 1$

خطوة 1.2.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (1)$

خطوة 1.2.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

وسّع $\ln (e^{3 x})$ بنقل $3 x$ خارج اللوغاريتم.

$3 x \ln (e) = \ln (1)$

خطوة 1.2.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$3 x \cdot 1 = \ln (1)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 x = \ln (1)$

خطوة 1.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$3 x = 0$

خطوة 1.2.5

اقسِم كل حد في $3 x = 0$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اقسِم كل حد في $3 x = 0$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 1.2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

خطوة 1.2.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

خطوة 1.2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.3.1

اقسِم $0$ على $3$ .

$x = 0$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$y = 2 e^{3 (0)} + 1$

خطوة 1.3.2

بسّط $2 e^{3 (0)} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

اضرب $3$ في $0$ .

$y = 2 e^{0} + 1$

خطوة 1.3.2.1.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$y = 2 \cdot 1 + 1$

خطوة 1.3.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$y = 2 + 1$

خطوة 1.3.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$y = 3$

خطوة 1.4

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(0, 3)$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 d x - \int_{- 1}^{0} 3 e^{3 x} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- 1$ و $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - (3 e^{3 x}) d x$

خطوة 3.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int_{- 1}^{0} 2 e^{3 x} + 1 - 3 e^{3 x} d x$

خطوة 3.3

اطرح $3 e^{3 x}$ من $2 e^{3 x}$ .

$\int_{- 1}^{0} 1 - e^{3 x} d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 1}^{0} d x + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

خطوة 3.5

طبّق قاعدة الثابت.

$x]_{- 1}^{0} + \int_{- 1}^{0} - e^{3 x} d x$

خطوة 3.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 1}^{0} e^{3 x} d x$

خطوة 3.7

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 3.7.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 3.7.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 3.7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot - 1$

خطوة 3.7.3

اضرب $3$ في $- 1$ .

$u_{lower} = - 3$

خطوة 3.7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 0$

خطوة 3.7.5

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

خطوة 3.7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} e^{u} \frac{1}{3} d u$

خطوة 3.8

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \int_{- 3}^{0} \frac{e^{u}}{3} d u$

خطوة 3.9

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$x]_{- 1}^{0} - (\frac{1}{3} \int_{- 3}^{0} e^{u} d u)$

خطوة 3.10

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x]_{- 1}^{0} - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

خطوة 3.11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

احسِب قيمة $x$ في $0$ وفي $- 1$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} e^{u}]_{- 3}^{0}$

خطوة 3.11.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $0$ وفي $- 3$ .

$(0) + 1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

خطوة 3.11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

أضف $0$ و $1$ .

$1 - \frac{1}{3} ((e^{0}) - e^{- 3})$

خطوة 3.11.3.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - e^{- 3})$

خطوة 3.12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{e^{3}})$

خطوة 3.12.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 - \frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

خطوة 3.12.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$

خطوة 3.12.1.4

اضرب $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{e^{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 - \frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{e^{3}}$

خطوة 3.12.1.4.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{e^{3}}$

خطوة 3.12.1.4.3

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1}{e^{3}}$ .

$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 3.12.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 3.12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 - 1}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 3.12.4

اطرح $1$ من $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 4

$A r e a = \int_{0}^{2} 3 e^{3 x} d x - \int_{0}^{2} 2 e^{3 x} + 1 d x$

خطوة 5

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - (2 e^{3 x} + 1) d x$

خطوة 5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 e^{3 x} - (2 e^{3 x}) - 1 \cdot 1$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 \cdot 1$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1$

$\int_{0}^{2} 3 e^{3 x} - 2 e^{3 x} - 1 d x$

خطوة 5.3

اطرح $2 e^{3 x}$ من $3 e^{3 x}$ .

$\int_{0}^{2} e^{3 x} - 1 d x$

خطوة 5.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} e^{3 x} d x + \int_{0}^{2} - 1 d x$

خطوة 5.5

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 5.5.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 5.5.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 5.5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

خطوة 5.5.3

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2$

خطوة 5.5.5

اضرب $3$ في $2$ .

$u_{upper} = 6$

خطوة 5.5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 6$

خطوة 5.5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{6} e^{u} \frac{1}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

خطوة 5.6

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{6} \frac{e^{u}}{3} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

خطوة 5.7

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{6} e^{u} d u + \int_{0}^{2} - 1 d x$

خطوة 5.8

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + \int_{0}^{2} - 1 d x$

خطوة 5.9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} e^{u}]_{0}^{6} + - x]_{0}^{2}$

خطوة 5.10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $6$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + - x]_{0}^{2}$

خطوة 5.10.2

احسِب قيمة $- x$ في $2$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} ((e^{6}) - e^{0}) + (- 1 \cdot 2) + 0$

خطوة 5.10.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.10.3.1

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1 \cdot 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

خطوة 5.10.3.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) + (- 1 \cdot 2) + 0$

خطوة 5.10.3.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2 + 0$

خطوة 5.10.3.4

أضف $- 2$ و $0$ .

$\frac{1}{3} (e^{6} - 1) - 2$

خطوة 5.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{3} e^{6} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

خطوة 5.11.1.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $e^{6}$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 1 - 2$

خطوة 5.11.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1}{3} - 2$

خطوة 5.11.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2$

خطوة 5.11.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 5.11.3

اجمع $- 2$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 5.11.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 2 \cdot 3}{3}$

خطوة 5.11.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.5.1

اضرب $- 2$ في $3$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 1 - 6}{3}$

خطوة 5.11.5.2

اطرح $6$ من $- 1$ .

$\frac{e^{6}}{3} + \frac{- 7}{3}$

خطوة 5.11.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$

خطوة 6

اجمع المساحات $\frac{2}{3} + \frac{1}{3 e^{3}} + \frac{e^{6}}{3} - \frac{7}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 + e^{6} - 7}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 6.2

اطرح $7$ من $2$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 6.3

لكتابة $\frac{e^{6} - 5}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{e^{6} - 5}{3} \cdot \frac{e^{3}}{e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 6.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

اضرب $\frac{e^{6} - 5}{3}$ في $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ .

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3}}{3 e^{3}} + \frac{1}{3 e^{3}}$

خطوة 6.4.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(e^{6} - 5) e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

خطوة 6.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{6} e^{3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

خطوة 6.5.2

اضرب $e^{6}$ في $e^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{e^{6 + 3} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

خطوة 6.5.2.2

أضف $6$ و $3$ .

$\frac{e^{9} - 5 e^{3} + 1}{3 e^{3}}$

خطوة 7