حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\log_{b} (216) = 3$

خطوة 1

أعِد كتابة $\log_{b} (216) = 3$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$b^{3} = 216$

خطوة 2

أوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اطرح $216$ من كلا المتعادلين.

$b^{3} - 216 = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أعِد كتابة $216$ بالصيغة $6^{3}$ .

$b^{3} - 6^{3} = 0$

خطوة 2.2.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = b$ و $b = 6$ .

$(b - 6) (b^{2} + b \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

انقُل $6$ إلى يسار $b$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 6^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$b - 6 = 0$

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $b - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $b - 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$b - 6 = 0$

خطوة 2.4.2

أضف $6$ إلى كلا المتعادلين.

$b = 6$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $b^{2} + 6 b + 36$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $b^{2} + 6 b + 36$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$b^{2} + 6 b + 36 = 0$

خطوة 2.5.2

أوجِد قيمة $b$ في $b^{2} + 6 b + 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 6$ و $c = 36$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $b$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.3

اطرح $144$ من $36$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 108$ بالصيغة $- 1 (108)$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (108)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$b = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.7

أعِد كتابة $108$ بالصيغة $6^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $36$ من $108$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $36$ بالصيغة $6^{2}$ .

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$b = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.1.9

انقُل $6$ إلى يسار $i$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$b = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

خطوة 2.5.2.3.3

بسّط $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$b = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

خطوة 2.5.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$b = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

خطوة 2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(b - 6) (b^{2} + 6 b + 36) = 0$ صحيحة.

$b = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$