حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{t \sin (t)}{1 + t}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t \sin (t)$ و $g (t) = 1 + t$ .

$\frac{(1 + t) \frac{d}{d t} [t \sin (t)] - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = \sin (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\sin (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\cos (t)$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t]) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t) \cdot 1) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 4.2

اضرب $\sin (t)$ في $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [1 + t]}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 4.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) (0 + \frac{d}{d t} [t])}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 4.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \frac{d}{d t} [t]}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t) \cdot 1}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 4.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1

وسّع $(1 + t) (t \cos (t) + \sin (t))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (t \cos (t) + \sin (t)) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t) + \sin (t)) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 (t \cos (t)) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.1

اضرب $t \cos (t)$ في $1$ .

$\frac{t \cos (t) + 1 \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.1.2.2

اضرب $\sin (t)$ في $1$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t (t \cos (t)) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.1.2.3

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1.2.3.1

انقُل $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t \cdot t \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.1.2.3.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + t \sin (t) - t \sin (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.2.1

اطرح $t \sin (t)$ من $t \sin (t)$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 0}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.1.2.2

أضف $t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)$ و $0$ .

$\frac{t \cos (t) + \sin (t) + t^{2} \cos (t)}{{(1 + t)}^{2}}$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{t \cos (t) + t^{2} \cos (t) + \sin (t)}{{(t + 1)}^{2}}$