حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} \sin (\frac{1}{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \frac{1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4

اضرب $x^{2}$ في $x^{- 2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{- 2 + 2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 4.3

أضف $- 2$ و $2$ .

$x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\cos (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ بالصيغة $- \cos (\frac{1}{x})$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) (2 x)$

خطوة 7

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$