حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{a x + b}{c x + d}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = a x + b$ و $g (x) = c x + d$ .

$\frac{(c x + d) \frac{d}{d x} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a x + b$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$\frac{(c x + d) (\frac{d}{d x} [a x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [a x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $a$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) (a \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) (a \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 3.3

اضرب $a$ في $1$ .

$\frac{(c x + d) (a + \frac{d}{d x} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $b$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $b$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(c x + d) (a + 0) - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 4.2

أضف $a$ و $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) \frac{d}{d x} [c x + d]}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $c x + d$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [c x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $c$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $c x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 5.3

اضرب $c$ في $1$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + \frac{d}{d x} [d])}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $d$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $d$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) (c + 0)}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 6.2

أضف $c$ و $0$ .

$\frac{(c x + d) a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{c x a + d a - (a x + b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{c x a + d a + (- (a x) - b) c}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{c x a + d a - (a x) c - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 7.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $c x a + d a - (a x) c - b c$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $c x a$ و $- (a x) c$ .

$\frac{a c x + d a - a c x - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 7.4.2

اطرح $a c x$ من $a c x$ .

$\frac{d a + 0 - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 7.4.3

أضف $d a$ و $0$ .

$\frac{d a - b c}{{(c x + d)}^{2}}$

خطوة 7.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{a d - b c}{{(d + c x)}^{2}}$