حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = t {(2 t + 1)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (t {(2 t + 1)}^{2})$

خطوة 2

مشتق $x$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $x'$ .

$x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة ${(2 t + 1)}^{2}$ بالصيغة $(2 t + 1) (2 t + 1)$ .

$\frac{d}{d t} [t ((2 t + 1) (2 t + 1))]$

خطوة 3.2

وسّع $(2 t + 1) (2 t + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t + 1) + 1 (2 t + 1))]$

خطوة 3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t + 1))]$

خطوة 3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d}{d t} [t (2 t (2 t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

خطوة 3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

انقُل $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 (t \cdot t) + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{d}{d t} [t (2 \cdot 2 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t \cdot 1 + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

خطوة 3.3.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 1 (2 t) + 1 \cdot 1)]$

خطوة 3.3.1.5

اضرب $2 t$ في $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1 \cdot 1)]$

خطوة 3.3.1.6

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 2 t + 2 t + 1)]$

خطوة 3.3.2

أضف $2 t$ و $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t (4 t^{2} + 4 t + 1)]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = 4 t^{2} + 4 t + 1$ .

$t \frac{d}{d t} [4 t^{2} + 4 t + 1] + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 t^{2} + 4 t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$t (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$t (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$t (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.4

اضرب $2$ في $4$ .

$t (8 t + \frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t (8 t + 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$t (8 t + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.7

اضرب $4$ في $1$ .

$t (8 t + 4 + \frac{d}{d t} [1]) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$t (8 t + 4 + 0) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.9

أضف $8 t + 4$ و $0$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 3.5.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$t (8 t + 4) + (4 t^{2} + 4 t + 1) \cdot 1$

خطوة 3.5.11

اضرب $4 t^{2} + 4 t + 1$ في $1$ .

$t (8 t + 4) + 4 t^{2} + 4 t + 1$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$t (8 t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

خطوة 3.6.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$8 (t^{1} t) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

خطوة 3.6.2.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$8 (t^{1} t^{1}) + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

خطوة 3.6.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$8 t^{1 + 1} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

خطوة 3.6.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$8 t^{2} + t \cdot 4 + 4 t^{2} + 4 t + 1$

خطوة 3.6.2.5

انقُل $4$ إلى يسار $t$ .

$8 t^{2} + 4 \cdot t + 4 t^{2} + 4 t + 1$

خطوة 3.6.2.6

أضف $8 t^{2}$ و $4 t^{2}$ .

$12 t^{2} + 4 t + 4 t + 1$

خطوة 3.6.2.7

أضف $4 t$ و $4 t$ .

$12 t^{2} + 8 t + 1$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x' = 12 t^{2} + 8 t + 1$

خطوة 5

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = 12 t^{2} + 8 t + 1$