حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x^{4} + 9)}^{8} (4 x^{3} d x)$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d (x^{3} x^{1})) d x$

خطوة 1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{3 + 1}) d x$

خطوة 1.3

أضف $3$ و $1$ .

$\int {(x^{4} + 9)}^{8} (4 d x^{4}) d x$

خطوة 1.4

انقُل $4$ إلى يسار ${(x^{4} + 9)}^{8}$ .

$\int 4 {(x^{4} + 9)}^{8} d x^{4} d x$

خطوة 2

بما أن $4 d$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4 d$ خارج التكامل.

$4 d \int {(x^{4} + 9)}^{8} x^{4} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u_{1} = x^{4} + 9$ . إذن $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u_{1} = x^{4} + 9$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x^{4} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 9]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [9]$

خطوة 3.1.4

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x^{3} + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 x^{3}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$4 d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} \frac{1}{4} d u_{1}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و ${u_{1}}^{8}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8}}{4} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

خطوة 4.2

اجمع $\frac{{u_{1}}^{8}}{4}$ و $\sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$4 d \int \frac{{u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9}}{4} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$4 d (\frac{1}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$d (\frac{4}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{4}{4}$ و $d$ .

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 d}{4} \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

خطوة 6.3.2

اقسِم $d$ على $1$ .

$d \int {u_{1}}^{8} \sqrt[4]{u_{1} - 9} d u_{1}$

خطوة 7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = {u_{1}}^{8}$ و $d v = \sqrt[4]{u_{1} - 9}$ .

$d ({u_{1}}^{8} (\frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}) - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{4}{5}$ و ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d ({u_{1}}^{8} \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

خطوة 8.2

اجمع ${u_{1}}^{8}$ و $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{{u_{1}}^{8} (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

خطوة 8.3

انقُل $4$ إلى يسار ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 \cdot {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4}{5} {u_{2}}^{\frac{5}{4}} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{4}{5}$ و ${u_{2}}^{\frac{5}{4}}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (8 {u_{1}}^{7}) d u_{1})$

خطوة 8.5

اجمع $8$ و $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{8 (4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}})}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

خطوة 8.6

اضرب $4$ في $8$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} {u_{1}}^{7} d u_{1})$

خطوة 8.7

اجمع $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ و ${u_{1}}^{7}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \int \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{7}}{5} d u_{1})$

خطوة 9

بما أن $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5}$ خارج التكامل.

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - (\frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} \int {u_{1}}^{7} d u_{1}))$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{1}}^{7}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\frac{1}{8} {u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{1}{8} {u_{1}}^{8} + C))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{8}$ و ${u_{1}}^{8}$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$

خطوة 11.2

أعِد كتابة $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{32 {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} (\frac{{u_{1}}^{8}}{8} + C))$ بالصيغة $d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$ .

$d (\frac{4 {u_{1}}^{8} {u_{2}}^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أعِد ترتيب الحدود.

$d (\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5} - \frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}) + C$

خطوة 11.3.2

اطرح $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ من $\frac{4 {u_{2}}^{\frac{5}{4}} {u_{1}}^{8}}{5}$ .

$d \cdot 0 + C$

خطوة 11.3.3

اضرب $d$ في $0$ .

$0 + C$

خطوة 11.3.4

أضف $0$ و $C$ .

$C$