حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \cos (\sqrt{3 x})$

خطوة 1

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 x}$ في صورة ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.2

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos ({(3 (x))}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 1.3

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3^{\frac{1}{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) (3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 10

اجمع $3^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 11

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 12

اجمع $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ و $\sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})$ .

$- \frac{3^{\frac{1}{2}} \sin (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$