حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \arctan (\sqrt{x})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \arctan (x)$ و $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\arctan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4

بسّط.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 10

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 11

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 12

اضرب $\frac{1}{1 + x}$ في $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) \cdot 2}$

خطوة 13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

انقُل $2$ إلى يسار $1 + x$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot (1 + x)}$

خطوة 13.2

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x) x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{(2 \cdot 1 + 2 x) x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2 \cdot 1 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3.2

اضرب $x$ في $x^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.1

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x)}$

خطوة 14.3.2.2

اضرب $x^{\frac{1}{2}}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})}$

خطوة 14.3.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + 1}}$

خطوة 14.3.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

خطوة 14.3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1 + 2}{2}}}$

خطوة 14.3.2.5

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 14.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1

أخرِج العامل $2 x^{\frac{1}{2}}$ من $2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.4.1.1

أخرِج العامل $2 x^{\frac{1}{2}}$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 14.4.1.2

أخرِج العامل $2 x^{\frac{1}{2}}$ من $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 14.4.1.3

أخرِج العامل $2 x^{\frac{1}{2}}$ من $2 x^{\frac{1}{2}} (1) + 2 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{2}{2}})$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{\frac{2}{2}})}$

خطوة 14.4.2

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x^{1})}$

خطوة 14.4.3

بسّط.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$