حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \ln (\sqrt{x + 7})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 7}$ في صورة ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x + 7$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x + 7$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(x + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 10

انقُل ${(x + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7])$

خطوة 11

اضرب $\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{{(x + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 12

اضرب ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

انقُل ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(x + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x + 7)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 12.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 12.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 12.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + 7)}^{1}} \frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 13

بسّط $2 {(x + 7)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} \frac{d}{d x} [x + 7]$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (1 + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 16

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} (1 + 0)$

خطوة 17

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)} \cdot 1$

خطوة 17.2

اضرب $\frac{1}{2 (x + 7)}$ في $1$ .

$\frac{1}{2 (x + 7)}$