حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{\ln (x)}{e^{2 x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{{(e^{2 x})}^{2}}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(e^{2 x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{2 x \cdot 2}}$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{2 x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

خطوة 4

اجمع $e^{2 x}$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

خطوة 5

اضرب $\frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]}{e^{4 x}}$

خطوة 6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع.

$\frac{x (\frac{e^{2 x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{e^{2 x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

خطوة 6.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])}{x e^{4 x}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

خطوة 7.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

خطوة 7.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))}{x e^{4 x}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

خطوة 8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x])))}{x e^{4 x}}$

خطوة 8.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) (e^{2 x} \cdot 1))}{x e^{4 x}}$

خطوة 8.4

اضرب $e^{2 x}$ في $1$ .

$\frac{e^{2 x} + x (- 2 \ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{e^{2 x} - 2 x (\ln (x) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

خطوة 9.1.2

بسّط $- 2 \ln (x)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{e^{2 x} + x (- \ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

خطوة 9.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{e^{2 x} - x (\ln (x^{2}) e^{2 x})}{x e^{4 x}}$

$\frac{e^{2 x} - x e^{2 x} \ln (x^{2})}{x e^{4 x}}$

خطوة 9.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

خطوة 9.3

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- e^{2 x} x \ln (x^{2}) + e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $- e^{2 x} x \ln (x^{2})$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x}}{e^{4 x} x}$

خطوة 9.3.2

اضرب في $1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1}{e^{4 x} x}$

خطوة 9.3.3

أخرِج العامل $e^{2 x}$ من $e^{2 x} (- x \ln (x^{2})) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$\frac{e^{2 x} (- x \ln (x^{2}) + 1)}{e^{4 x} x}$

خطوة 9.4

وسّع $\ln (x^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{e^{4 x} x}$

خطوة 9.5

احذِف العامل المشترك لـ $e^{2 x}$ و $e^{4 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $e^{2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

خطوة 9.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

أخرِج العامل $e^{4 x}$ من $e^{4 x} x$ .

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} (x)}$

خطوة 9.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{4 x} (e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1))}{e^{4 x} x}$

خطوة 9.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{- 2 x} (- x (2 \ln (x)) + 1)}{x}$

خطوة 9.6

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 2 x \ln (x) + 1)}{x}$

خطوة 9.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x \ln (x)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) + 1)}{x}$

خطوة 9.8

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

خطوة 9.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x \ln (x)) - 1 (- 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

خطوة 9.10

أعِد كتابة $- (2 x \ln (x) - 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x \ln (x) - 1)$ .

$\frac{e^{- 2 x} (- 1 (2 x \ln (x) - 1))}{x}$

خطوة 9.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- 2 x} (2 x \ln (x) - 1)}{x}$