حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \log_{2} (e^{- x} \cos (π x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{2} (x)$ و $g (x) = e^{- x} \cos (π x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{2} (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\log_{2} (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1} \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{- x} \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [e^{- x} \cos (π x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{- x}$ و $g (x) = \cos (π x)$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} \frac{d}{d x} [\cos (π x)] + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $π x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) (π \cdot 1)) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 4.3

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ هو $a^{u_{3}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $- x$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

خطوة 6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (e^{- x} \cdot - 1))$

خطوة 6.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- 1 \cdot e^{- x}))$

خطوة 6.3.3

أعِد كتابة $- 1 e^{- x}$ بالصيغة $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π) + \cos (π x) (- e^{- x}))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (e^{- x} (- \sin (π x) π)) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $e^{- x}$ و $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- \sin (π x) π) + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

خطوة 7.2.2

اجمع $\frac{e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ و $\sin (π x)$ .

$- \frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} π + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

خطوة 7.2.3

اجمع $π$ و $\frac{e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π (e^{- x} \sin (π x))}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{π e^{- x} \sin (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

خطوة 7.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (\cos (π x) (- e^{- x}))$

خطوة 7.2.5

اجمع $\cos (π x)$ و $\frac{1}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} + \frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)} (- e^{- x})$

خطوة 7.2.6

اجمع $\frac{\cos (π x)}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$ و $e^{- x}$ .

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

خطوة 7.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (π x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{\cos (π x) e^{- x}}{e^{- x} \cos (π x) \ln (2)}$

خطوة 7.2.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

خطوة 7.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{e^{- x}}{e^{- x} \ln (2)}$

خطوة 7.2.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{π \sin (π x)}{\cos (π x) \ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$

خطوة 7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

افصِل الكسور.

$- (\frac{π}{\ln (2)} \cdot \frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}) - \frac{1}{\ln (2)}$

خطوة 7.3.2

حوّل من $\frac{\sin (π x)}{\cos (π x)}$ إلى $\tan (π x)$ .

$- (\frac{π}{\ln (2)} \tan (π x)) - \frac{1}{\ln (2)}$

خطوة 7.3.3

اجمع $\frac{π}{\ln (2)}$ و $\tan (π x)$ .

$- \frac{π \tan (π x)}{\ln (2)} - \frac{1}{\ln (2)}$