حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \log_{5} (\sqrt{x^{2} - 1})$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} - 1}$ في صورة ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{5} (x)$ و $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

مشتق $\log_{5} (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 10

انقُل ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

خطوة 11

اضرب $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 13.2

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 14

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 14.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 15

بسّط.

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 16

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 18

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x + 0)$

خطوة 19

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} (2 x)$

خطوة 19.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ .

$\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)} x$

خطوة 19.3

اجمع $\frac{2}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

خطوة 19.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 19.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2 (x^{2} - 1) \ln (5)}$

خطوة 19.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x}{(x^{2} - 1) \ln (5)}$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - 1 \ln (5)}$

خطوة 20.2

أعِد كتابة $- 1 \ln (5)$ بالصيغة $- \ln (5)$ .

$\frac{x}{x^{2} \ln (5) - \ln (5)}$