حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{7 x} + e^{- 7 x}}{x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{7 x} + e^{- 7 x}$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{7 x} + e^{- 7 x}] - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{7 x} + e^{- 7 x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{7 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $7 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $7 x$ .

$\frac{x (e^{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{7 x} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (e^{7 x} (7 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{x (e^{7 x} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.3.2

انقُل $7$ إلى يسار $e^{7 x}$ .

$\frac{x (7 \cdot e^{7 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 7 x$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 7 x$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $- 7$ في $1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} + e^{- 7 x} \cdot - 7) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.3.2

انقُل $- 7$ إلى يسار $e^{- 7 x}$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 \cdot e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 6.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x (7 e^{7 x} - 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - (e^{7 x} + e^{- 7 x})}{x^{2}}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (7 e^{7 x}) + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{7 x e^{7 x} + x (- 7 e^{- 7 x}) - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$

خطوة 7.5

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{7 e^{7 x} x - 7 e^{- 7 x} x - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$ .

$\frac{7 x e^{7 x} - 7 x e^{- 7 x} - e^{7 x} - e^{- 7 x}}{x^{2}}$