حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{e^{x}}{2 x + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - e^{x} \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(2 x + 1) e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x e^{x} + 1 e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{2 x e^{x} + e^{x} - 2 e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اطرح $2 e^{x}$ من $e^{x}$ .

$\frac{2 x e^{x} - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 e^{x} x - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 e^{x} x - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $e^{x}$ من $2 e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (2 x) - e^{x}}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

أخرِج العامل $e^{x}$ من $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4.3

أخرِج العامل $e^{x}$ من $e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (2 x - 1)}{{(2 x + 1)}^{2}}$