حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{x^{2} - 1}{x^{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 1$ و $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 2.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{3} (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 3} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 3.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{x^{4} \cdot 2 - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{4}$ .

$\frac{2 \cdot x^{4} - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2 x^{4} - (x^{2} - 1) (3 x^{2})}{x^{6}}$

خطوة 6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{4} - 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) - 3 (x^{2} - 1) x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 3 (x^{2} - 1) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 3 (x^{2} - 1))$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{6}}$

خطوة 7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1))}{x^{2} x^{4}}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2} - 3 (x^{2} - 1)}{x^{4}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} - 3 \cdot - 1}{x^{4}}$

خطوة 8.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x^{2} + 3}{x^{4}}$

خطوة 8.2.2

اطرح $3 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{x^{4}}$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + 3}{x^{4}}$

خطوة 8.4

أعِد كتابة $3$ بالصيغة $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{x^{4}}$

خطوة 8.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{- (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

خطوة 8.6

أعِد كتابة $- (x^{2} - 3)$ بالصيغة $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{x^{4}}$

خطوة 8.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{2} - 3}{x^{4}}$