حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ و $g (x) = 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{3}{2} {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 6

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 5 x + 1]$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 5 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 8

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 10

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 11

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 13

اضرب $5$ في $1$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 14

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5 + 0)$

خطوة 15

أضف $6 x + 5$ و $0$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 x + 5)$ .

$(6 x + 5) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.2

طبّق خاصية التوزيع.

$6 x \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x$ .

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (3 x) \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 x (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}) + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.4

اضرب $3$ في $3$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.5

اضرب $5 \frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

اجمع $5$ و $\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{5 (3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2}$

خطوة 16.5.2

اضرب $3$ في $5$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.6

لكتابة $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.7

اجمع $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.9.1

أخرِج العامل $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $9 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.9.1.1

أعِد ترتيب العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.9.1.1.1

انقُل ${(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 x \cdot 2 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.9.1.1.2

انقُل $x$ .

$\frac{9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.9.1.2

أخرِج العامل $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $9 \cdot 2 x {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 16.9.1.3

أخرِج العامل $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $15 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)}{2}$

خطوة 16.9.1.4

أخرِج العامل $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ من $3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x) + 3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (5)$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 2 x + 5)}{2}$

خطوة 16.9.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{3 {(3 x^{2} + 5 x + 1)}^{\frac{1}{2}} (6 x + 5)}{2}$