حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = {(1 - x^{- 1})}^{- 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 1 - x^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - x^{- 1}$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

خطوة 2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}])$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

خطوة 2.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$- {(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

خطوة 2.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 {(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.5.2

اضرب ${(1 - x^{- 1})}^{- 2}$ في $1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب عوامل ${(1 - x^{- 1})}^{- 2} (- x^{- 2})$ .

$- x^{- 2} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

خطوة 3.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - x^{- 1})}^{- 2}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} {(1 - \frac{1}{x})}^{- 2}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(1 - \frac{1}{x})}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x}{x} - \frac{1}{x})}^{2}}$

خطوة 3.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{x - 1}{x})}^{2}}$

خطوة 3.5.3

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{x - 1}{x}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2}}}$

خطوة 3.6

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{1}{x^{2}} (1 \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}})$

خطوة 3.7

اضرب $\frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ في $1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{x^{2}}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$