حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{7 x^{2} - 4 x + 3}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7 x^{2} - 4 x + 3}$ في صورة ${(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 7 x^{2} - 4 x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x^{2} - 4 x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x^{2} - 4 x + 3$ .

$\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 7.3

انقُل ${(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 4 x + 3]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{2} - 4 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 9

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 11

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 12

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (14 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (14 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 14

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (14 x - 4 + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 15

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (14 x - 4 + 0)$

خطوة 16

أضف $14 x - 4$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (14 x - 4)$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (14 x - 4)$ .

$(14 x - 4) \frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2

اضرب $14 x - 4$ في $\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{14 x - 4}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.3

أخرِج العامل $2$ من $14 x$ .

$\frac{2 (7 x) - 4}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.4

أخرِج العامل $2$ من $- 4$ .

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot - 2}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (7 x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (7 x - 2)}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (7 x - 2)}{2 ({(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 17.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (7 x - 2)}{2 {(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7 x - 2}{{(7 x^{2} - 4 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$