حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{2 x - 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = e^{2 x - 1}$ في صورة معادلة.

$y = e^{2 x - 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = e^{2 y - 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{2 y - 1} = x$ .

$e^{2 y - 1} = x$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{2 y - 1}) = \ln (x)$

خطوة 3.3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وسّع $\ln (e^{2 y - 1})$ بنقل $2 y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(2 y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

خطوة 3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(2 y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

خطوة 3.3.3

اضرب $2 y - 1$ في $1$ .

$2 y - 1 = \ln (x)$

خطوة 3.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 y = \ln (x) + 1$

خطوة 3.5

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x) + 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اقسِم كل حد في $2 y = \ln (x) + 1$ على $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 3.5.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{2 x - 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1})}{2} + \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{\ln (e^{2 x - 1}) + 1}{2}$

خطوة 5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $2 x - 1$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \ln (e) + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{(2 x - 1) \cdot 1 + 1}{2}$

خطوة 5.2.4.3

اضرب $2 x - 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

خطوة 5.2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x + 0}{2}$

خطوة 5.2.5.1.2

أضف $2 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = \frac{2 x}{2}$

خطوة 5.2.5.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (e^{2 x - 1}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x)}{2}$ بالصيغة $\frac{1}{2} \ln (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (x) + \frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.3.3.1.2

بسّط $\frac{1}{2} \ln (x)$ بنقل $\frac{1}{2}$ داخل اللوغاريتم.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{2 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط $2 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

خطوة 5.3.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

اضرب الأُسس في ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.5.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.5.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x^{1}) + 1 - 1}$

خطوة 5.3.3.5.2

بسّط.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 1 - 1}$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln (x) + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x) + 0}$

خطوة 5.3.4.2

أضف $\ln (x)$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = e^{\ln (x)}$

خطوة 5.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$ هي معكوس $f (x) = e^{2 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$