حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}} = x^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} ({(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ و $g (x) = 11 x + 3 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $11 x + 3 y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $11 x + 3 y$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.5.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} {(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.6.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.6.3

انقُل ${(11 x + 3 y)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [11 x + 3 y]$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $11 x + 3 y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [11 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.8

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $11 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.10

اضرب $11$ في $1$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + \frac{d}{d x} [3 y])$

خطوة 2.11

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 \frac{d}{d x} [y])$

خطوة 2.12

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$

خطوة 2.13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (11 + 3 y')$ .

$(11 + 3 y') \frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 2.13.2

اضرب $11 + 3 y'$ في $\frac{1}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} = 2 x$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}) = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

بسّط $\frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 \frac{11 + 3 y'}{3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.2.1.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ ${(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11 + 3 y'}{{(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}} {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.2.1.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$11 + 3 y' = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.2.1.1.4

أعِد ترتيب $11$ و $3 y'$ .

$3 y' + 11 = 2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $2 x (3 {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 y' + 11 = 2 \cdot 3 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 5.2.2.1.2

اضرب $2$ في $3$ .

$3 y' + 11 = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اطرح $11$ من كلا المتعادلين.

$3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$

خطوة 5.3.2

اقسِم كل حد في $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اقسِم كل حد في $3 y' = 6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11$ على $3$ .

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y'}{3} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 (2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.1.2.4

اقسِم $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ على $1$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - \frac{11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.2

لكتابة $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y' = 2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.3

اجمع $2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{2 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} \cdot 3 - 11}{3}$

خطوة 5.3.2.3.5

اضرب $3$ في $2$ .

$y' = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x {(11 x + 3 y)}^{\frac{2}{3}} - 11}{3}$