حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y + 2 x^{3} y = x + y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y + 2 x^{3} y) = \frac{d}{d x} (x + y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + 2 x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

خطوة 2.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + \frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3} y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

خطوة 2.3.5

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{2} y' + 2 y x + 2 (x^{3} y') + 2 (3 y x^{2})$

خطوة 2.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$x^{2} y' + 2 y x + 2 x^{3} y' + 6 y x^{2}$

خطوة 2.4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + y$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$1 + y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y = 1 + y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $y'$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 2 x y + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' + 6 x^{2} y - y' = 1 - 2 x y$

خطوة 5.2.2

اطرح $6 x^{2} y$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y' + 2 x^{3} y' - y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y'$ من $x^{2} y'$ .

$y' x^{2} + 2 x^{3} y' - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{3} y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) - y' = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y'$ من $- y'$ .

$y' (x^{2}) + y' (2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2}) + y' (2 x^{3})$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1 = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $y'$ من $y' (x^{2} + 2 x^{3}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (x^{2} + 2 x^{3} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ على $2 x^{3} + x^{2} - 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{3} + x^{2} - 1) = 1 - 2 x y - 6 x^{2} y$ على $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{3} + x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x^{3} + x^{2} - 1)}{2 x^{3} + x^{2} - 1} = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} + \frac{- 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

خطوة 5.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{1}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

خطوة 5.5.3.2

اجمع في كسر واحد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - 2 x y}{2 x^{3} + x^{2} - 1} - \frac{6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

خطوة 5.5.3.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 x y - 6 x^{2} y}{2 x^{3} + x^{2} - 1}$